関数 $y = x^3 \log x$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 \log x$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。

$y = x^3 \log x$

1階導関数:

$y' = (x^3)' \log x + x^3 (\log x)' = 3x^2 \log x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \log x + x^2$

2階導関数:

$y'' = (3x^2 \log x + x^2)' = 3(x^2)' \log x + 3x^2 (\log x)' + 2x = 6x \log x + 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 2x = 6x \log x + 3x + 2x = 6x \log x + 5x$

3階導関数:

$y''' = (6x \log x + 5x)' = 6(x)' \log x + 6x (\log x)' + 5 = 6 \log x + 6x \cdot \frac{1}{x} + 5 = 6 \log x + 6 + 5 = 6 \log x + 11$

4階導関数:

$y^{(4)} = (6 \log x + 11)' = 6 \cdot \frac{1}{x} = \frac{6}{x}$

5階導関数:

$y^{(5)} = (\frac{6}{x})' = -\frac{6}{x^2}$

6階導関数:

$y^{(6)} = (-\frac{6}{x^2})' = \frac{12}{x^3}$

一般的に、$x^k \log x$ の $n$ 次導関数は $x^{k-n} \log x$ と $x^{k-n}$ の線形結合になることが予想されます。

一般ライプニッツ則を用いることを考えます。

一般ライプニッツ則は、2つの関数の積のn次導関数を与えるもので、以下の通りです。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、$u = x^3$, $v = \log x$ とします。

$u' = 3x^2$, $u'' = 6x$, $u''' = 6$, $u^{(4)} = 0$

$v' = \frac{1}{x}$, $v'' = -\frac{1}{x^2}$, $v''' = \frac{2}{x^3}$, $v^{(4)} = -\frac{6}{x^4}$, 一般に $v^{(k)} = (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{x^k}$ ($k \geq 1$)

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

$u^{(n-k)}$ は $n-k > 3$ のとき $0$ となるため、$n-k \leq 3$, すなわち $k \geq n-3$ であれば良い。

$y^{(n)} = \binom{n}{n} x^3 v^{(n)} + \binom{n}{n-1} 3x^2 v^{(n-1)} + \binom{n}{n-2} 6x v^{(n-2)} + \binom{n}{n-3} 6 v^{(n-3)}$

$y^{(n)} = x^3 (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} + n \cdot 3x^2 (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{x^{n-1}} + \frac{n(n-1)}{2} 6x (-1)^{n-3} \frac{(n-3)!}{x^{n-2}} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} 6 (-1)^{n-4} \frac{(n-4)!}{x^{n-3}}$

$y^{(n)} = (-1)^{n-1} (n-1)! \frac{x^3}{x^n} + 3n (-1)^{n-2} (n-2)! \frac{x^2}{x^{n-1}} + 3n(n-1) (-1)^{n-3} (n-3)! \frac{x}{x^{n-2}} + n(n-1)(n-2) (-1)^{n-4} (n-4)! \frac{1}{x^{n-3}}$

$y^{(n)} = (-1)^{n-1} (n-1)! x^{3-n} + 3n (-1)^{n-2} (n-2)! x^{3-n} + 3n(n-1) (-1)^{n-3} (n-3)! x^{3-n} + n(n-1)(n-2) (-1)^{n-4} (n-4)! x^{3-n}$

$y^{(n)} = x^{3-n} \left[ (-1)^{n-1} (n-1)! + 3n (-1)^{n-2} (n-2)! + 3n(n-1) (-1)^{n-3} (n-3)! + n(n-1)(n-2) (-1)^{n-4} (n-4)! \right]$

$n\geq4$ のとき

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = x^{3-n} \left[ (-1)^{n-1} (n-1)! + 3n (-1)^{n-2} (n-2)! + 3n(n-1) (-1)^{n-3} (n-3)! + n(n-1)(n-2) (-1)^{n-4} (n-4)! \right]$ ($n \geq 4$)

$y' = 3x^2 \log x + x^2$

$y'' = 6x \log x + 5x$

$y''' = 6 \log x + 11$