関数 $y = xe^{-2x}$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-2x}$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、1次導関数、2次導関数、3次導関数を計算し、規則性を見つけます。

* 1次導関数：

$y' = \frac{d}{dx}(xe^{-2x}) = e^{-2x} + x(-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = (1-2x)e^{-2x}$

* 2次導関数：

$y'' = \frac{d}{dx}((1-2x)e^{-2x}) = -2e^{-2x} + (1-2x)(-2e^{-2x}) = -2e^{-2x} - 2e^{-2x} + 4xe^{-2x} = (-4+4x)e^{-2x} = (4x-4)e^{-2x}$

* 3次導関数：

$y''' = \frac{d}{dx}((4x-4)e^{-2x}) = 4e^{-2x} + (4x-4)(-2e^{-2x}) = 4e^{-2x} - 8xe^{-2x} + 8e^{-2x} = (12-8x)e^{-2x} = (-8x+12)e^{-2x}$

上記の結果から、$y^{(n)} = P_n(x)e^{-2x}$の形になると推測できます。

ここで、$P_n(x)$ は $x$ の1次式であると考えられます。

ライプニッツの公式を利用します。ライプニッツの公式は、

$\frac{d^n}{dx^n}(uv) = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k \frac{d^k}{dx^k}(u) \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}(v)$

です。

$u = x$, $v = e^{-2x}$ とすると、

$\frac{d^n}{dx^n}(xe^{-2x}) = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k \frac{d^k}{dx^k}(x) \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}(e^{-2x})$

$x$ の導関数は、

$\frac{d^0}{dx^0}(x) = x$,

$\frac{d^1}{dx^1}(x) = 1$,

$\frac{d^k}{dx^k}(x) = 0$ (for $k \ge 2$)

となります。

$e^{-2x}$ の導関数は、

$\frac{d^m}{dx^m}(e^{-2x}) = (-2)^m e^{-2x}$

となります。

したがって、ライプニッツの公式は、

$y^{(n)} = {}_n C_0 x (-2)^n e^{-2x} + {}_n C_1 (1) (-2)^{n-1} e^{-2x} + \sum_{k=2}^{n} {}_n C_k (0) (-2)^{n-k} e^{-2x}$

$y^{(n)} = x (-2)^n e^{-2x} + n (-2)^{n-1} e^{-2x}$

$y^{(n)} = (-2)^n x e^{-2x} + n (-2)^{n-1} e^{-2x}$

$y^{(n)} = (-2)^{n-1} e^{-2x} (-2x + n)$

$y^{(n)} = (-2)^{n-1} (n-2x) e^{-2x}$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (-2)^{n-1}(n-2x)e^{-2x}$