$g'(x) = 2x$ のとき、$g(x) = x^2 + C$ (Cは定数) となることを平均値の定理を用いて示す問題です。

1. 問題の内容

$g'(x) = 2x$ のとき、$g(x) = x^2 + C$ (Cは定数) となることを平均値の定理を用いて示す問題です。

2. 解き方の手順

平均値の定理とは、関数 $g(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、

$$\frac{g(b) - g(a)}{b - a} = g'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも１つ存在する、という定理です。

この問題では、ある関数 $g(x)$ の導関数 $g'(x)$ が与えられています。

$g(x)$ が $x^2 + C$ の形であることを平均値の定理を用いて示す必要があります。

まず、$g(x)$ と $x^2$ の差を考えます。

$h(x) = g(x) - x^2$ と定義します。

このとき、$h'(x) = g'(x) - 2x$ となります。

問題文より、$g'(x) = 2x$ なので、$h'(x) = 2x - 2x = 0$ となります。

次に、区間 $[a, b]$ において $h(x)$ に平均値の定理を適用します。

平均値の定理より、

$$\frac{h(b) - h(a)}{b - a} = h'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在します。

$h'(x) = 0$ より、$h'(c) = 0$ であるため、

$$\frac{h(b) - h(a)}{b - a} = 0$$

となります。

したがって、$h(b) - h(a) = 0$、つまり $h(b) = h(a)$ となります。

これは、$h(x)$ が定数関数であることを意味します。

よって、$h(x) = C$ （Cは定数）と表せます。

$h(x) = g(x) - x^2$ であったので、 $g(x) - x^2 = C$ となります。

したがって、$g(x) = x^2 + C$ となります。

3. 最終的な答え

$g(x) = x^2 + C$