関数 $y = \frac{1}{x(x-1)}$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x(x-1)}$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$

となる $A$ と $B$ を求めます。両辺に $x(x-1)$ を掛けると

$1 = A(x-1) + Bx$

$1 = (A+B)x - A$

したがって、$A+B = 0$ かつ $-A = 1$ となります。これより、$A = -1$、$B = 1$ が得られます。

よって、$y = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$ となります。

次に、$\frac{1}{x}$ と $\frac{1}{x-1}$ の $n$ 次導関数をそれぞれ求めます。

$(\frac{1}{x})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}$

$(\frac{1}{x-1})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x-1)^{n+1}}$

したがって、

$y^{(n)} = (\frac{1}{x-1})^{(n)} - (\frac{1}{x})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x-1)^{n+1}} - (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}$

$y^{(n)} = (-1)^n n! \left(\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{x^{n+1}}\right)$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (-1)^n n! \left(\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{x^{n+1}}\right)$