与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。 $$ \int \frac{x(x^2+1)}{x+1} dx $$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。

$$\int \frac{x(x^2+1)}{x+1} dx$$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を多項式と有理関数の和に分解します。分子を分母で割ります。

$$\frac{x(x^2+1)}{x+1} = \frac{x^3 + x}{x+1}$$

筆算または組立除法により、$x^3 + x$ を $x+1$ で割ると、$x^2 - x + 2 - \frac{2}{x+1}$ が得られます。したがって、

$$\frac{x^3 + x}{x+1} = x^2 - x + 2 - \frac{2}{x+1}$$

与えられた積分は次のようになります。

$$\int \left( x^2 - x + 2 - \frac{2}{x+1} \right) dx$$

それぞれの項を積分します。

$$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$$

$$\int x dx = \frac{x^2}{2}$$

$$\int 2 dx = 2x$$

$$\int \frac{2}{x+1} dx = 2 \int \frac{1}{x+1} dx = 2 \ln|x+1|$$

したがって、積分は次のようになります。

$$\int \left( x^2 - x + 2 - \frac{2}{x+1} \right) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x - 2 \ln|x+1| + C$$

3. 最終的な答え

最終的な答えは次の通りです。

$$\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x - 2 \ln|x+1| + C$$