関数 $f(x) = \cos(7\cos^{-1}x)$ が与えられています。 1) 次の等式を示す必要があります。 (i) $\sqrt{1-x^2}f^{(1)}(x) = 7\sin(7\cos^{-1}x)$ (ii) $(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - (n^2-7^2)f^{(n)}(x) = 0$ （Leibnizの公式を用いる） 2) $f^{(n)}(0)$ を求めます。 3) 2)の結果を用いて、$f(x)$ のマクローリン展開を求めます。

## 問題の解答

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \cos(7\cos^{-1}x)$ が与えられています。

1) 次の等式を示す必要があります。

(i) $\sqrt{1-x^2}f^{(1)}(x) = 7\sin(7\cos^{-1}x)$

(ii) $(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - (n^2-7^2)f^{(n)}(x) = 0$ （Leibnizの公式を用いる）

2) $f^{(n)}(0)$ を求めます。

3) 2)の結果を用いて、$f(x)$ のマクローリン展開を求めます。

2. 解き方の手順

1) (i) の証明

$f(x) = \cos(7\cos^{-1}x)$ を微分します。

$\cos^{-1}x$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ なので、

$f'(x) = -\sin(7\cos^{-1}x) \cdot 7 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) = \frac{7\sin(7\cos^{-1}x)}{\sqrt{1-x^2}}$

両辺に $\sqrt{1-x^2}$ を掛けると、

$\sqrt{1-x^2}f'(x) = 7\sin(7\cos^{-1}x)$

となり、与えられた式が成り立ちます。

1) (ii) の証明

まず、$f(x) = \cos(7\cos^{-1}x)$ を２回微分します。

上記の $f'(x)$ をさらに微分すると、

$f''(x) = \frac{7\cos(7\cos^{-1}x) \cdot 7 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})\sqrt{1-x^2} - 7\sin(7\cos^{-1}x)\cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}$

$f''(x) = \frac{-49\cos(7\cos^{-1}x) + 7\sin(7\cos^{-1}x)\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}$

$f''(x) = \frac{-49f(x) + xf'(x)}{1-x^2}$

したがって、

$(1-x^2)f''(x) = xf'(x) - 49f(x)$

これを書き換えると、

$(1-x^2)f''(x) - xf'(x) + 49f(x) = 0$

ここで、Leibnizの公式を適用します。

$(1-x^2)f''(x) - xf'(x) + 49f(x) = 0$ を $n$ 回微分すると、

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) + n(-2x)f^{(n+1)}(x) + \frac{n(n-1)}{2}(-2)f^{(n)}(x) - [xf^{(n+1)}(x) + nf^{(n)}(x)] + 49f^{(n)}(x) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) -2nx f^{(n+1)}(x) -n(n-1)f^{(n)}(x) - xf^{(n+1)}(x) - nf^{(n)}(x) + 49f^{(n)}(x) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) -(2n+1)x f^{(n+1)}(x) - (n^2 - 49)f^{(n)}(x) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - (n^2 - 7^2)f^{(n)}(x) = 0$

これで与えられた式が証明できました。

2) $f^{(n)}(0)$ の計算

$f(x) = \cos(7\cos^{-1}x)$ より、$f(0) = \cos(7\cos^{-1}0) = \cos(7\cdot\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{7\pi}{2}) = 0$

$f'(x) = \frac{7\sin(7\cos^{-1}x)}{\sqrt{1-x^2}}$ より、$f'(0) = \frac{7\sin(7\cdot\frac{\pi}{2})}{\sqrt{1}} = \frac{7(-1)}{1} = -7$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - (n^2 - 49)f^{(n)}(x) = 0$ で $x=0$ とすると、

$f^{(n+2)}(0) = (n^2-49)f^{(n)}(0)$

したがって、

$f^{(n+2)}(0) = (n-7)(n+7)f^{(n)}(0)$

$n$ が偶数のとき、$f(0) = 0$ なので、$f^{(2k)}(0) = (2k-2-7)(2k-2+7)f^{(2k-2)}(0) = 0$

$n$ が奇数のとき、$f'(0) = -7$ なので、$f^{(2k+1)}(0) = (2k-7)(2k+7)f^{(2k-1)}(0)$

$f^{(2k+1)}(0)$ は奇数次導関数の0における値で、

$f'(0) = -7$, $f'''(0) = (-7^2) (-7) = 7^3$, $f^{(5)}(0) = (7^2 - 4)(7^2) (-7)$ ...

3) マクローリン展開

マクローリン展開は以下の通りです。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

$f(x) = 0 - 7x + 0 + \frac{7^3}{3!}x^3 + 0 + \frac{(25)}{5!}f^{(5)}(0) x^5 + ...$

$f(x) = -7x + \frac{7^3}{3!}x^3 + ...$

3. 最終的な答え

1) (i) $\sqrt{1-x^2}f'(x) = 7\sin(7\cos^{-1}x)$

(ii) $(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - (n^2-7^2)f^{(n)}(x) = 0$

2) $f^{(n)}(0)$ は、nが偶数のとき0。nが奇数の時、漸化式 $f^{(n+2)}(0) = (n^2-49)f^{(n)}(0)$ で計算できる。$f'(0)=-7$.

3) $f(x) = -7x + \frac{7^3}{3!}x^3 + ...$