与えられた積分を計算します。 $\int \frac{x+1}{x(x^2+1)} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{x+1}{x(x^2+1)} dx$

2. 解き方の手順

部分分数分解を行います。

$\frac{x+1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

両辺に $x(x^2+1)$ をかけると

$x+1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x = A(x^2+1) + Bx^2 + Cx$

$x+1 = (A+B)x^2 + Cx + A$

係数を比較すると

$A+B=0$, $C=1$, $A=1$

$A=1$ を $A+B=0$ に代入すると $1+B=0$ より $B=-1$

よって、

$\frac{x+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} + \frac{-x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}$

積分を計算します。

$\int \frac{x+1}{x(x^2+1)} dx = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1} \right) dx$

$= \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x}{x^2+1} dx + \int \frac{1}{x^2+1} dx$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_1$

$\int \frac{x}{x^2+1} dx$ について、$u=x^2+1$ とおくと、$du=2xdx$ より $xdx = \frac{1}{2}du$

$\int \frac{x}{x^2+1} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln (x^2+1) + C_2$

$\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan(x) + C_3$

よって

$\int \frac{x+1}{x(x^2+1)} dx = \ln |x| - \frac{1}{2} \ln (x^2+1) + \arctan(x) + C$

$= \ln |x| - \ln \sqrt{x^2+1} + \arctan(x) + C$

3. 最終的な答え

$\ln |x| - \frac{1}{2} \ln (x^2+1) + \arctan(x) + C$

または

$\ln |x| - \ln \sqrt{x^2+1} + \arctan(x) + C$