問題は2つあります。 (1) $x > 0$ において、$x > \sin x$ を示すこと。 (2) 関数 $f(x) = x^4 + 2x^2 - 3$ の増減と極値を求めること。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $x > 0$ において、$x > \sin x$ を示すこと。

(2) 関数 $f(x) = x^4 + 2x^2 - 3$ の増減と極値を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $x > 0$ において $x > \sin x$ を示す。

関数 $g(x) = x - \sin x$ を考える。

$g'(x) = 1 - \cos x$

$x > 0$ において、$-1 \leq \cos x \leq 1$ なので、$g'(x) = 1 - \cos x \geq 0$。

よって、$g(x)$ は $x > 0$ において単調増加である。

$g(0) = 0 - \sin 0 = 0$ なので、$x > 0$ において $g(x) > 0$。

したがって、$x > 0$ において、$x > \sin x$ が成り立つ。

(2) 関数 $f(x) = x^4 + 2x^2 - 3$ の増減と極値を求める。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$4x(x^2 + 1) = 0$

$x = 0$

増減表を書く。

| x | ... | 0 | ... |

| :--- | :--- | :-- | :--- |

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | ↓ | -3 | ↑ |

$f(0) = 0^4 + 2(0)^2 - 3 = -3$

$x=0$のとき、極小値 $-3$ をとる。

極大値は存在しない。

関数は、$x < 0$ で減少し、$x > 0$ で増加する。

3. 最終的な答え

(1) $x > 0$ において、$x > \sin x$ が成り立つ。

(2) $f(x)$ は、$x<0$ で減少し、$x>0$ で増加する。極小値は $f(0) = -3$。極大値は存在しない。