連続する3つの正の偶数 $a, b, c$ があり、$a < b < c$ を満たす。$b$ の平方（2乗）は、$a$ と $c$ の和に $224$ を加えた値よりも大きい。この条件を満たす $a, b, c$ の組のうち、$a$ の値が最も小さくなるものを求めよ。

1. 問題の内容

連続する3つの正の偶数 $a, b, c$ があり、$a < b < c$ を満たす。$b$ の平方（2乗）は、$a$ と $c$ の和に $224$ を加えた値よりも大きい。この条件を満たす $a, b, c$ の組のうち、$a$ の値が最も小さくなるものを求めよ。

2. 解き方の手順

$a, b, c$ は連続する偶数なので、$b = a + 2$, $c = a + 4$ と表すことができる。

問題文の条件から、$b^2 > a + c + 224$ が成り立つ。

$b = a + 2$ と $c = a + 4$ を不等式に代入すると、

$(a + 2)^2 > a + (a + 4) + 224$

$a^2 + 4a + 4 > 2a + 228$

$a^2 + 2a - 224 > 0$

この不等式を解くために、$a^2 + 2a - 224 = 0$ の解を求める。解の公式を使うと、

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-224)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 896}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-2 \pm 30}{2}$

$a = \frac{-2 + 30}{2} = 14$ または $a = \frac{-2 - 30}{2} = -16$

$a > 0$ より、$a = 14$ となる。

不等式 $a^2 + 2a - 224 > 0$ を満たす $a$ の範囲は、$a < -16$ または $a > 14$ である。

$a$ は偶数なので、$a > 14$ を満たす最小の偶数は $a = 16$ である。

このとき、$b = a + 2 = 16 + 2 = 18$、$c = a + 4 = 16 + 4 = 20$ となる。

確認のために、$b^2$ と $a + c + 224$ を計算する。

$b^2 = 18^2 = 324$

$a + c + 224 = 16 + 20 + 224 = 260$

$324 > 260$ となり、条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a = 16, b = 18, c = 20$