この問題は、2期間にわたる消費者の効用最大化と企業の利潤最大化を考える経済モデルに関するものです。消費者の効用関数 $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ と企業の生産関数 $Y_2 = F(I_1) = 1.5 \ln(I_1 + 1)$ が与えられています。ここで、$c_1$ と $c_2$ はそれぞれ第1期と第2期の消費、$I_1$ は第1期の投資、$Y_2$ は第2期の生産量です。問題では、IS曲線を求め、実質金利 $r = 0.25$ のときの可処分所得 $Y$ を求めることが求められています。

1. 問題の内容

この問題は、2期間にわたる消費者の効用最大化と企業の利潤最大化を考える経済モデルに関するものです。消費者の効用関数 $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ と企業の生産関数 $Y_2 = F(I_1) = 1.5 \ln(I_1 + 1)$ が与えられています。ここで、$c_1$ と $c_2$ はそれぞれ第1期と第2期の消費、$I_1$ は第1期の投資、$Y_2$ は第2期の生産量です。問題では、IS曲線を求め、実質金利 $r = 0.25$ のときの可処分所得 $Y$ を求めることが求められています。

2. 解き方の手順

まず、IS曲線を導出するために、財市場の均衡条件を考える必要があります。

2期間モデルにおける財市場の均衡条件は、通常、以下のようになります。

$Y = c_1 + I_1$ （第1期の均衡）

$Y_2 = c_2$ （第2期の均衡）

ここで、貯蓄 $S$ は $Y - c_1$ であり、投資 $I_1$ に等しくなります。また、消費者の最適化問題から、$c_1$ と $c_2$ の関係を導き出す必要があります。予算制約は以下のようになります。

$c_1 + \frac{c_2}{1+r} = Y + \frac{Y_2}{1+r}$

効用関数を予算制約の下で最大化するために、ラグランジュ関数を設定し、一階の条件を求めます。

ラグランジュ関数は

$L = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2 - \lambda (c_1 + \frac{c_2}{1+r} - Y - \frac{Y_2}{1+r})$

一階の条件は以下のようになります。

$\frac{\partial L}{\partial c_1} = \frac{0.7}{c_1} - \lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial c_2} = \frac{0.3}{c_2} - \frac{\lambda}{1+r} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = c_1 + \frac{c_2}{1+r} - Y - \frac{Y_2}{1+r} = 0$

これらの式から$\lambda$を消去すると、

$\frac{0.7}{c_1} = \frac{0.3(1+r)}{c_2}$

$c_2 = \frac{0.3(1+r)}{0.7} c_1$

$c_2 = \frac{3(1+r)}{7} c_1$

これを予算制約式に代入します。

$c_1 + \frac{3(1+r)c_1}{7(1+r)} = Y + \frac{Y_2}{1+r}$

$c_1 + \frac{3}{7} c_1 = Y + \frac{Y_2}{1+r}$

$\frac{10}{7} c_1 = Y + \frac{Y_2}{1+r}$

$c_1 = \frac{7}{10} (Y + \frac{Y_2}{1+r})$

次に投資と利子率の関係を考えます。

企業の利潤最大化を考えると、投資の限界収益は利子率に等しくなります。

$\frac{dY_2}{dI_1} = \frac{1.5}{I_1+1} = r$

$I_1 = \frac{1.5}{r} - 1$

$r = 0.25$ の場合、$I_1 = \frac{1.5}{0.25} - 1 = 6 - 1 = 5$ となります。

したがって、$Y_2 = 1.5 \ln(5+1) = 1.5 \ln 6 \approx 1.5 \times 1.79 = 2.685$

$Y = c_1 + I_1$ であり、$c_1 = \frac{7}{10} (Y + \frac{Y_2}{1+r})$ なので、

$Y = \frac{7}{10} (Y + \frac{2.685}{1+0.25}) + 5$

$Y = \frac{7}{10} (Y + \frac{2.685}{1.25}) + 5$

$Y = \frac{7}{10} (Y + 2.148) + 5$

$10Y = 7Y + 15.036 + 50$

$3Y = 65.036$

$Y = 21.678666...$

3. 最終的な答え

実質金利 $r = 0.25$ のとき、実質可処分所得 $Y$ は約 21.68 です。

IS曲線は、$Y = \frac{7}{10} (Y + \frac{1.5\ln(\frac{1.5}{r})}{(1+r)}) + \frac{1.5}{r} - 1$ と表されます。

あるいは$I_1 = \frac{1.5}{r}-1$ を$Y_2 = 1.5\ln(\frac{1.5}{r})$に代入して、$Y = \frac{7}{10}(Y + \frac{Y_2}{1+r}) + I_1 = \frac{7}{10}(Y + \frac{1.5\ln(1.5/r)}{1+r}) + \frac{1.5}{r}-1$

と書くことができます。