高さ $9.8 \ m$ の位置から、小球を鉛直下向きに初速度 $9.8 \ m/s$ で投げ下ろしたとき、地面に落下する直前の速さを求める問題です。

1. 問題の内容

高さ $9.8 \ m$ の位置から、小球を鉛直下向きに初速度 $9.8 \ m/s$ で投げ下ろしたとき、地面に落下する直前の速さを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、力学的エネルギー保存の法則を用いて解くことができます。

初めの状態（小球を投げ下ろした瞬間）の力学的エネルギー $E_1$ と、終わりの状態（地面に落下する直前）の力学的エネルギー $E_2$ は等しくなります。

$E_1 = E_2$

初めの状態の力学的エネルギー $E_1$ は、位置エネルギー $U_1$ と運動エネルギー $K_1$ の和で表されます。

$E_1 = U_1 + K_1$

$U_1 = mgh = mg(9.8)$

$K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m(9.8)^2$

ここで、$m$ は小球の質量、$g$ は重力加速度（$9.8 \ m/s^2$）、$h$ は高さ、$v_1$ は初速度です。

終わりの状態の力学的エネルギー $E_2$ も、位置エネルギー $U_2$ と運動エネルギー $K_2$ の和で表されます。

$E_2 = U_2 + K_2$

$U_2 = 0$ (地面を基準としているため)

$K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2$

ここで、$v_2$ は地面に落下する直前の速さです。

力学的エネルギー保存の法則より、$E_1 = E_2$ なので、

$mg(9.8) + \frac{1}{2}m(9.8)^2 = \frac{1}{2}mv_2^2$

両辺を $m$ で割ると、

$9.8g + \frac{1}{2}(9.8)^2 = \frac{1}{2}v_2^2$

$g = 9.8 \ m/s^2$ を代入すると、

$9.8(9.8) + \frac{1}{2}(9.8)^2 = \frac{1}{2}v_2^2$

$(9.8)^2 + \frac{1}{2}(9.8)^2 = \frac{1}{2}v_2^2$

$\frac{3}{2}(9.8)^2 = \frac{1}{2}v_2^2$

$v_2^2 = 3(9.8)^2$

$v_2 = \sqrt{3(9.8)^2} = 9.8\sqrt{3}$

$v_2 \approx 9.8 \times 1.732 \approx 16.9736$

3. 最終的な答え

地面に落下する直前の速さは約 $17.0 \ m/s$ です。