この問題は、ゲーム理論に関する4つの問いから構成されています。 (1) 2人ゼロ和ゲームの最適な純粋戦略を求める。 (2) 2人非ゼロ和ゲームの純粋戦略ナッシュ均衡を求める。 (3) 2人ゼロ和ゲームの最適な混合戦略を求める。 (4) 2人非ゼロ和ゲームの混合戦略ナッシュ均衡を求める。

1. 問題の内容

この問題は、ゲーム理論に関する4つの問いから構成されています。

(1) 2人ゼロ和ゲームの最適な純粋戦略を求める。

(2) 2人非ゼロ和ゲームの純粋戦略ナッシュ均衡を求める。

(3) 2人ゼロ和ゲームの最適な混合戦略を求める。

(4) 2人非ゼロ和ゲームの混合戦略ナッシュ均衡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2人ゼロ和ゲームの最適な純粋戦略を求める。

- 各プレイヤーのミニマックス戦略（相手の行動に対する自分の損失を最小化する戦略）とマキシミン戦略（自分の行動に対する最小の利益を最大化する戦略）を求める。

- ミニマックス値とマキシミン値が一致する場合、その戦略が最適な純粋戦略となる。

- プレイヤーIの戦略が1の場合、プレイヤーIIの最適な戦略は1となり、プレイヤーIの利得は3。

- プレイヤーIの戦略が2の場合、プレイヤーIIの最適な戦略は1となり、プレイヤーIの利得は-1。

- プレイヤーIの戦略が3の場合、プレイヤーIIの最適な戦略は1となり、プレイヤーIの利得は2。

- プレイヤーIIの戦略が1の場合、プレイヤーIの最適な戦略は1となり、プレイヤーIIの損失は-3。

- プレイヤーIIの戦略が2の場合、プレイヤーIの最適な戦略は3となり、プレイヤーIIの損失は-1。

- プレイヤーIIの戦略が3の場合、プレイヤーIの最適な戦略は3となり、プレイヤーIIの損失は-2。

- ミニマックス戦略はプレイヤーIIの戦略1（損失-3を最小化）、マキシミン戦略はプレイヤーIの戦略1（利得3を最大化）。

- このゲームは、純粋戦略ナッシュ均衡が存在しない。

(2) 2人非ゼロ和ゲームの純粋戦略ナッシュ均衡を求める。

- 各セルのペイオフ（利得）を確認し、各プレイヤーにとって、相手の戦略に対して最も有利な戦略を探す。

- ナッシュ均衡とは、どのプレイヤーも相手の戦略を変えない限り、自分の戦略を変えるインセンティブがない状態。

- (1,1): プレイヤーIは戦略2にすると利得が4に増加。プレイヤーIIは戦略2にすると利得が4に増加。ナッシュ均衡でない。

- (1,2): プレイヤーIは戦略2にすると利得が3に増加。プレイヤーIIは戦略1にすると利得が6に増加。ナッシュ均衡でない。

- (1,3): プレイヤーIは戦略2にすると利得が2に増加。プレイヤーIIは戦略1にすると利得がない。ナッシュ均衡でない。

- (2,1): プレイヤーIは戦略1にすると利得が5に増加。プレイヤーIIは戦略2にすると利得が6に増加。ナッシュ均衡でない。

- (2,2): プレイヤーIは戦略1にすると利得が2に減少。プレイヤーIIは戦略1にすると利得が6に増加。ナッシュ均衡でない。

- (2,3): プレイヤーIは戦略3にすると利得が7に増加。プレイヤーIIは戦略2にすると利得が2に減少。ナッシュ均衡でない。

- (3,1): プレイヤーIは戦略2にすると利得が4に増加。プレイヤーIIは戦略2にすると利得が2に減少。ナッシュ均衡でない。

- (3,2): プレイヤーIは戦略3にすると利得が7に増加。プレイヤーIIは戦略1にすると利得が3に増加。ナッシュ均衡でない。

- (3,3): プレイヤーIは戦略3から戦略2にすると利得が2に減少。プレイヤーIIは戦略3から戦略1にすると利得が3に増加。ナッシュ均衡でない。

- 純粋戦略ナッシュ均衡は(2,1)と(3,1)である。

(3) 2人ゼロ和ゲームの最適な混合戦略を求める。

- プレイヤーIが戦略1を取る確率を$p$、戦略2を取る確率を$1-p$とする。

- プレイヤーIIが戦略1を取る場合、プレイヤーIの期待利得は$1*p + 6*(1-p) = 6-5p$

- プレイヤーIIが戦略2を取る場合、プレイヤーIの期待利得は$3*p + 3*(1-p) = 3$

- プレイヤーIIが戦略3を取る場合、プレイヤーIの期待利得は$4*p + 0*(1-p) = 4p$

- $6-5p = 3$を解くと、$p = 3/5$

- $6-5p = 4p$を解くと、$p = 6/9 = 2/3$

- プレイヤーIの混合戦略は$p=3/5$の時、プレイヤーIIは戦略2を選択する方が有利。

- プレイヤーIの混合戦略は$p=2/3$の時、プレイヤーIIは戦略3を選択する方が有利。

- 戦略1,2を取るとして、$6-5p = 3$を解くと、$p=3/5$。この時、戦略1を取る確率は3/5、戦略2を取る確率は2/5となる。

-戦略1,3を取るとして、$6-5p = 4p$を解くと、$p=2/3$。この時、戦略1を取る確率は2/3、戦略2を取る確率は1/3となる。

- プレイヤーIが戦略1,2のみを使うとして、IIが戦略1,2を使ったときの期待利得が等しくなるようにする。

- プレイヤーIが戦略1を選ぶ確率をpとすると、Iの期待利得はIIが戦略1のときp + 6(1-p) = 6-5p,戦略2のとき 3p + 3(1-p) =

3. - よって、6-5p = 3, p = 3/5となる。このとき、プレイヤーIの利得は3。プレイヤーIIは戦略3を取らない。

- よって、I(3/5, 2/5), II(0,1,0)である。

(4) 2人非ゼロ和ゲームの混合戦略ナッシュ均衡を求める。

- プレイヤーIが戦略1を取る確率を$p$、戦略2を取る確率を$1-p$とする。

- プレイヤーIIが戦略1を取る確率を$q$、戦略2を取る確率を$1-q$とする。

- プレイヤーIの期待利得：$2q + 4(1-q) = 4-2q$, $6q + 2(1-q) = 2 + 4q$。$4-2q = 2+4q$, $6q = 2$, $q=1/3$。

- プレイヤーIIの期待利得：$3p + 6(1-p) = 6-3p$, $6p + 3(1-p) = 3 + 3p$。$6-3p = 3+3p$, $6p = 3$, $p=1/2$。

- よって、プレイヤーIは(1/2, 1/2)、プレイヤーIIは(1/3, 2/3)である。

3. 最終的な答え

(1) 最適な純粋戦略は存在しない。

(2) 純粋戦略ナッシュ均衡は(2,1)と(3,1)。

(3) プレイヤーI: (3/5, 2/5)、プレイヤーII: (0, 1, 0)

(4) プレイヤーI: (1/2, 1/2)、プレイヤーII: (1/3, 2/3)