与えられた利得行列を持つ2人ゼロ和ゲームの最適な混合戦略を求める問題です。プレイヤーIは行を選択し、プレイヤーIIは列を選択します。利得行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 6 & 3 & 0 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた利得行列を持つ2人ゼロ和ゲームの最適な混合戦略を求める問題です。プレイヤーIは行を選択し、プレイヤーIIは列を選択します。利得行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 4 \\

6 & 3 & 0

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、支配戦略の有無を確認します。プレイヤーIの戦略1と戦略2を比較すると、戦略2は戦略1を支配していません。プレイヤーIIの戦略を比較すると、支配戦略はありません。

次に、混合戦略を考えます。プレイヤーIが戦略1を選択する確率を$p$とすると、戦略2を選択する確率は$1-p$となります。プレイヤーIIが戦略1, 2, 3を選択する確率をそれぞれ$q_1$, $q_2$, $q_3$とすると、$q_1+q_2+q_3 = 1$となります。

プレイヤーIにとって、プレイヤーIIがそれぞれの戦略を取った場合の期待利得が等しくなるように$p$を設定します。

プレイヤーIIが戦略1を選択した場合のプレイヤーIの期待利得は$1*p + 6*(1-p) = 6-5p$です。

プレイヤーIIが戦略2を選択した場合のプレイヤーIの期待利得は$3*p + 3*(1-p) = 3$です。

プレイヤーIIが戦略3を選択した場合のプレイヤーIの期待利得は$4*p + 0*(1-p) = 4p$です。

戦略2の場合の期待利得が常に3であるため、$6-5p = 4p$となる$p$を求めます。

$$

6 - 5p = 4p

$$

$$

9p = 6

$$

$$

p = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

$$

したがって、プレイヤーIの最適な戦略は、戦略1を$\frac{2}{3}$の確率で、戦略2を$\frac{1}{3}$の確率で選択することです。

次に、プレイヤーIIにとって、プレイヤーIがそれぞれの戦略を取った場合の期待損失が等しくなるように$q_1, q_2, q_3$を設定します。プレイヤーIが戦略1を選択した場合のプレイヤーIIの期待損失は$1*q_1 + 3*q_2 + 4*q_3$です。プレイヤーIが戦略2を選択した場合のプレイヤーIIの期待損失は$6*q_1 + 3*q_2 + 0*q_3$です。

これらの期待損失が等しくなるようにします。

$$

q_1 + 3q_2 + 4q_3 = 6q_1 + 3q_2

$$

$$

4q_3 = 5q_1

$$

$$

q_1 = \frac{4}{5} q_3

$$

また、$q_1 + q_2 + q_3 = 1$です。ここで、$q_2 = 0$と仮定すると、$q_1 + q_3 = 1$となり、$q_1 = \frac{4}{5} q_3$を代入すると、$\frac{4}{5} q_3 + q_3 = 1$なので、$\frac{9}{5} q_3 = 1$となり、$q_3 = \frac{5}{9}$、$q_1 = \frac{4}{9}$となります。

$$

q_1 = \frac{4}{9}, q_2 = 0, q_3 = \frac{5}{9}

$$

プレイヤーIIの最適な戦略は、戦略1を$\frac{4}{9}$の確率で、戦略2を0の確率で、戦略3を$\frac{5}{9}$の確率で選択することです。

ゲームの値は、$6-5p=6-5*\frac{2}{3}=6-\frac{10}{3}=\frac{8}{3}$または$4p=4*\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$です。

または、$q_1 + 3q_2 + 4q_3 = \frac{4}{9}+3(0)+\frac{20}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$

$6q_1 + 3q_2 = 6*\frac{4}{9}+0=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

プレイヤーIの最適な混合戦略：戦略1を$\frac{2}{3}$、戦略2を$\frac{1}{3}$の確率で選択する。

プレイヤーIIの最適な混合戦略：戦略1を$\frac{4}{9}$、戦略2を0、戦略3を$\frac{5}{9}$の確率で選択する。

ゲームの値：$\frac{8}{3}$