2人非ゼロ和ゲームの利得表が与えられており、その混合戦略ナッシュ均衡を求める問題です。プレイヤーIは行を、プレイヤーIIは列を選択し、それぞれの利得が(プレイヤーIの利得, プレイヤーIIの利得)の形式で与えられています。

1. 問題の内容

2人非ゼロ和ゲームの利得表が与えられており、その混合戦略ナッシュ均衡を求める問題です。プレイヤーIは行を、プレイヤーIIは列を選択し、それぞれの利得が(プレイヤーIの利得, プレイヤーIIの利得)の形式で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、純粋戦略のナッシュ均衡が存在するか確認します。

* プレイヤーIが戦略1を取るとき、プレイヤーIIは戦略2を取ると利得が最大になります(3<6)。

* プレイヤーIIが戦略2を取るとき、プレイヤーIは戦略1を取ると利得が最大になります(6>4)。

* プレイヤーIが戦略2を取るとき、プレイヤーIIは戦略1を取ると利得が最大になります(4>3)。

* プレイヤーIIが戦略1を取るとき、プレイヤーIは戦略2を取ると利得が最大になります(6>2)。

純粋戦略のナッシュ均衡は存在しません。したがって、混合戦略のナッシュ均衡を求めます。

プレイヤーIが戦略1を確率 $p$ で、戦略2を確率 $1-p$ で選択するとします。同様に、プレイヤーIIが戦略1を確率 $q$ で、戦略2を確率 $1-q$ で選択するとします。

プレイヤーIIにとって、プレイヤーIが戦略1と戦略2を選択した場合の期待利得が等しくなるように $p$ を決定します。

* プレイヤーIIが戦略1を取る場合の期待利得： $3p + 4(1-p)$

* プレイヤーIIが戦略2を取る場合の期待利得： $6p + 3(1-p)$

期待利得が等しいという条件から、

$3p + 4(1-p) = 6p + 3(1-p)$

$3p + 4 - 4p = 6p + 3 - 3p$

$4 - p = 3 + 3p$

$1 = 4p$

$p = \frac{1}{4}$

次に、プレイヤーIにとって、プレイヤーIIが戦略1と戦略2を選択した場合の期待利得が等しくなるように $q$ を決定します。

* プレイヤーIが戦略1を取る場合の期待利得： $2q + 4(1-q)$

* プレイヤーIが戦略2を取る場合の期待利得： $6q + 2(1-q)$

期待利得が等しいという条件から、

$2q + 4(1-q) = 6q + 2(1-q)$

$2q + 4 - 4q = 6q + 2 - 2q$

$4 - 2q = 2 + 4q$

$2 = 6q$

$q = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

混合戦略ナッシュ均衡は、プレイヤーIが戦略1を確率 $1/4$ 、戦略2を確率 $3/4$ で選択し、プレイヤーIIが戦略1を確率 $1/3$ 、戦略2を確率 $2/3$ で選択する戦略です。

(I: (1/4, 3/4), II: (1/3, 2/3))