地面から14.7mの高さから、初速度9.8m/sでボールを真上に投げ上げた。重力加速度の大きさを9.8m/s²として、以下の問いに答える。 (1) ボールが最高点に達するのは投げ上げてから何秒後か。 (2) 投げた点から最高点までの高さは何mか。 (3) 地面から最高点までの高さは何mか。 (4) 投げた後、再び投げた点に戻るまでの時間は何秒か。 (5) 投げた後、再び投げた点を通過するときの速さは何m/sか。 (6) ボールが地面に達するのは、投げてから何秒後か。 (7) 地面に落下したときのボールの速さは何m/sか。 (8) この運動のv-tグラフを描きなさい。

1. 問題の内容

地面から14.7mの高さから、初速度9.8m/sでボールを真上に投げ上げた。重力加速度の大きさを9.8m/s²として、以下の問いに答える。

(1) ボールが最高点に達するのは投げ上げてから何秒後か。

(2) 投げた点から最高点までの高さは何mか。

(3) 地面から最高点までの高さは何mか。

(4) 投げた後、再び投げた点に戻るまでの時間は何秒か。

(5) 投げた後、再び投げた点を通過するときの速さは何m/sか。

(6) ボールが地面に達するのは、投げてから何秒後か。

(7) 地面に落下したときのボールの速さは何m/sか。

(8) この運動のv-tグラフを描きなさい。

2. 解き方の手順

(1) 最高点では速度が0になるので、等加速度運動の公式 $v = v_0 - gt$ を用いる。ここで、$v=0$, $v_0=9.8$ m/s, $g=9.8$ m/s²。

$0 = 9.8 - 9.8t$

$t = \frac{9.8}{9.8} = 1.0$ 秒

(2) 等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = -2gy$ を用いる。ここで、$v=0$, $v_0=9.8$ m/s, $g=9.8$ m/s²。

$0^2 - (9.8)^2 = -2(9.8)y$

$y = \frac{(9.8)^2}{2(9.8)} = \frac{9.8}{2} = 4.9$ m

(3) 地面からの高さは、$14.7 + 4.9 = 19.6$ m

(4) 再び投げた点に戻るまでの時間は、最高点に達するまでの時間の2倍なので、$1.0 \times 2 = 2.0$ 秒

(5) 再び投げた点を通過するときの速さは、初速度と同じ大きさで逆向きなので、9.8 m/s

(6) 地面を原点として、ボールの位置 $y$ は時間 $t$ の関数として $y = 14.7 + 9.8t - \frac{1}{2}(9.8)t^2$ と表せる。

$y = 0$ となる $t$ を求めればよい。

$0 = 14.7 + 9.8t - 4.9t^2$

$4.9t^2 - 9.8t - 14.7 = 0$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t-3)(t+1) = 0$

$t = 3, -1$

$t > 0$ なので、 $t = 3$ 秒

(7) 等加速度運動の公式 $v = v_0 - gt$ を用いて、地面に落下したときの速度を計算する。初速度 $v_0 = 9.8$ m/s, $t = 3$ s, $g = 9.8$ m/s²。

ただし、これは間違い。

地面に達する時の速度を直接求めるには、等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = -2g(y - y_0)$ を使う。

$v_0=9.8$ m/s, $g=9.8$ m/s², $y=0$ m, $y_0=14.7$ m.

$v^2 - (9.8)^2 = -2(9.8)(0-14.7)$

$v^2 = (9.8)^2 + 2(9.8)(14.7)$

$v^2 = (9.8)^2 + 2(9.8)(1.5 \times 9.8) = (9.8)^2 + 3(9.8)^2 = 4(9.8)^2$

$v = \pm 2(9.8) = \pm 19.6$

下向きを正とすれば、 $v = -19.6$ m/s （上向きを正としているため）

速さとしては19.6 m/s

(8) v-tグラフは、初期速度9.8 m/sで、傾きが-9.8 m/s²の直線。t=1でv=0、t=2でv=-9.8、t=3でv=-19.6となる。

3. 最終的な答え

(1) 1.0秒後

(2) 4.9 m

(3) 19.6 m

(4) 2.0秒後

(5) 9.8 m/s

(6) 3秒後

(7) 19.6 m/s

(8) v-tグラフは、初期速度9.8 m/sで、傾きが-9.8 m/s²の直線。t=1でv=0、t=2でv=-9.8、t=3でv=-19.6となる。