Y接続されたインピーダンス $Z_a$, $Z_b$, $Z_c$ を等価なΔ接続に変換したときの、端子 a-b 間の等価インピーダンス $Z_{ab}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

Y接続されたインピーダンス $Z_a$, $Z_b$, $Z_c$ を等価なΔ接続に変換したときの、端子 a-b 間の等価インピーダンス $Z_{ab}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、Y-Δ変換の公式を用いて、Δ接続の各インピーダンスを求めます。Y-Δ変換の公式は以下の通りです。

Δ接続のインピーダンスを $Z_{ab}, Z_{bc}, Z_{ca}$ とすると、

$Z_{ab} = \frac{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}{Z_c}$

$Z_{bc} = \frac{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}{Z_a}$

$Z_{ca} = \frac{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}{Z_b}$

次に、a-b 間の等価インピーダンス $Z_{ab}'$ を求めます。これは、$Z_{ab}$ と $Z_{ca}$ と $Z_{bc}$ の直列接続の並列接続なので以下のようになります。

$Z_{ab}' = Z_{ab} || (Z_{ca} + Z_{bc}) = \frac{Z_{ab}(Z_{ca} + Z_{bc})}{Z_{ab} + Z_{ca} + Z_{bc}}$

ここで、各インピーダンスの具体的な値を代入して計算することで$Z_{ab}'$を求めます。

Y-Δ変換後の a-b間のインピーダンスは $Z_{ab}$ と $Z_{ca} + Z_{bc}$ の並列接続で求められます。

従って、$Z_{ab}$と、$Z_{bc}$、$Z_{ca}$の直列接続の並列接続を求める式を書きます。

$Z_{ab}'' = \frac{1}{\frac{1}{Z_{ab}} + \frac{1}{Z_{bc} + Z_{ca}}}$

上記の式に、Y-Δ変換の公式で求めた$Z_{ab}, Z_{bc}, Z_{ca}$を代入します。

$Z_{ab}'' = \frac{1}{\frac{Z_c}{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a} + \frac{Z_a+Z_b}{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}}$

$Z_{ab}'' = \frac{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}{Z_a + Z_b + Z_c}$

3. 最終的な答え

$Z_{ab} = \frac{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}{Z_a + Z_b + Z_c}$