与えられた3つの式を展開公式を使って計算する問題です。 (1) $(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})$ (2) $(2\sqrt{2}-\sqrt{27})^2$ (3) $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$ (3)は $\sqrt{2}+\sqrt{3}=A$ とおくように指示があります。

1. 問題の内容

与えられた3つの式を展開公式を使って計算する問題です。

(1) $(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})$

(2) $(2\sqrt{2}-\sqrt{27})^2$

(3) $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$

(3)は $\sqrt{2}+\sqrt{3}=A$ とおくように指示があります。

2. 解き方の手順

(1)

和と差の積の公式 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ を使います。

$(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2 = 11 - 3$

(2)

二乗の公式 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ を使います。

まず $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ と変形します。

$(2\sqrt{2}-\sqrt{27})^2 = (2\sqrt{2}-3\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2(2\sqrt{2})(3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 2 - 12\sqrt{6} + 9 \cdot 3 = 8 - 12\sqrt{6} + 27$

(3)

$\sqrt{2}+\sqrt{3}=A$ とおくと、与式は

$(A+\sqrt{5})(A-\sqrt{5})$ となります。

和と差の積の公式を使うと、

$(A+\sqrt{5})(A-\sqrt{5}) = A^2 - (\sqrt{5})^2 = A^2 - 5$

$A = \sqrt{2}+\sqrt{3}$ なので、$A^2 = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$

よって、

$A^2 - 5 = (5 + 2\sqrt{6}) - 5 = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) $35 - 12\sqrt{6}$

(3) $2\sqrt{6}$