与えられた3つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 - yz + zx - y^2$ (2) $2x^2 - 6xy + x + 3y - 1$ (3) $9b - 9 - 3ab + a^2$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 - yz + zx - y^2$

(2) $2x^2 - 6xy + x + 3y - 1$

(3) $9b - 9 - 3ab + a^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - yz + zx - y^2$

まず、式を整理します。

$x^2 + zx - y^2 - yz$

$x$ に関する項と $y$ に関する項をまとめます。

$(x^2 - y^2) + (zx - yz)$

和と差の積の公式 $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ を適用し、$z$ でくくります。

$(x+y)(x-y) + z(x-y)$

共通因数 $(x-y)$ でくくります。

$(x-y)(x+y+z)$

(2) $2x^2 - 6xy + x + 3y - 1$

$x$ について整理します。

$2x^2 + (1-6y)x + (3y-1)$

たすき掛けを試みます。

$2x^2 + (1-6y)x - (1-3y)$

$(2x-1)(x+1-3y) = 2x^2 +2x-6xy -x-1+3y = 2x^2 + x - 6xy +3y -1$

したがって、因数分解できます。

$(2x-1)(x-3y+1)$

(3) $9b - 9 - 3ab + a^2$

式を整理して、順番を入れ替えます。

$a^2 - 3ab + 9b - 9$

$a$ についての式とみなして、因数分解を試みます。

しかし、このままではうまくいきません。

再度式をよく見て、 $a^2 -3ab + \frac{9}{4}b^2$ で平方完成することを考えてみます。

あるいは、順番を入れ替えて、$a^2 - 3ab + 9b - 9$ から

$a^2 - 3ab$と $9b-9$で分けて考えることもできます。

少し違う方針で考えてみます。

$9b - 9 - 3ab + a^2 = a^2 -3ab +9b -9$

この式はうまく因数分解できないようです。

問題文に誤植がないか確認しますが、仮に$9b$が$9$であるとした場合

$a^2 - 3ab + 9 - 9 = a^2 -3ab + (\frac{3b}{2})^2 - (\frac{3b}{2})^2+ 9 = (a - \frac{3b}{2})^2 - \frac{9b^2}{4} + 9$ となり、因数分解できません。

そこで、問題文が　$9b^2 - 9 -3ab + a^2$ である場合を考えます。

$a^2 - 3ab + 9b^2 - 9 = a^2 -3ab + 9b^2 -9$

この式も因数分解は難しいです。

元の式にもどり、与式が $a^2-3ab+9b-9$ であったとき、この式ではうまく因数分解できません。

（もしも問題が$9b^2$だったとしても、きれいに因数分解できません。）

3. 最終的な答え

(1) $(x-y)(x+y+z)$

(2) $(2x-1)(x-3y+1)$

(3) $a^2 - 3ab + 9b - 9$　（この式は、このままでは因数分解できません。問題文に誤りがある可能性があります。）