$x^2 + (-3y - 2)x + (2y^2 + 5y - 3)$

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1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $x^2 - 3xy + 2y^2 - 2x + 5y - 3$

(2) $3x^2 - xy - 2y^2 + 6x - y + 3$

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2. 解き方の手順

**(1) $x^2 - 3xy + 2y^2 - 2x + 5y - 3$ の因数分解**

1. $x$ についての2次式と見て、整理します。

$x^2 + (-3y - 2)x + (2y^2 + 5y - 3)$

2. 定数項を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 3 = (2y - 1)(y + 3)$

3. 全体の式が因数分解できると仮定して、$(x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形を探します。

$x^2 + (A+C)xy + ACy^2 + (B+D)x + (AD+BC)y + BD$

$A+C = -3$

$AC = 2$

$B+D = -2$

$AD+BC = 5$

$BD = -3$

$A = -1$ かつ $C = -2$ とすると、$AC = 2$ を満たします。

$AD + BC = -D -2B = 5$

$B+D = -2$

$D = -2-B$ を $-D -2B = 5$ に代入します。

$2+B -2B = 5$

$-B = 3$

$B = -3$

$D = -2-(-3) = 1$

$BD = -3$

したがって、$x^2 + (-3y - 2)x + (2y^2 + 5y - 3) = (x - y - 3)(x - 2y + 1)$

**(2) $3x^2 - xy - 2y^2 + 6x - y + 3$ の因数分解**

1. $x$ についての2次式と見て、整理します。

$3x^2 + (-y + 6)x + (-2y^2 - y + 3)$

2. 定数項を因数分解します。

$-2y^2 - y + 3 = -(2y^2 + y - 3) = -(2y + 3)(y - 1) = (2y+3)(1-y)$

3. 全体の式が因数分解できると仮定して、$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形を探します。

$ad = 3$

$ae + bd = -1$

$be = -2$

$af + cd = 6$

$bf + ce = -1$

$cf = 3$

$a = 3, d = 1$ とします。

$be = -2, af + cd = 3f + c = 6, bf + ce = -1, cf = 3$

$b = -1, e = 2$ とします。

$-f + 2c = -1, cf = 3$

$c = 3, f = 1$ とします。

$-1 + 2*3 = 5 \ne -1$ なので、違う。

$c = 1, f = 3$ とします。

$-3 + 2*1 = -1$

したがって、$3x^2 + (-y + 6)x + (-2y^2 - y + 3) = (3x - y + 3)(x + 2y + 1)$

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3. 最終的な答え

(1) $(x - y - 3)(x - 2y + 1)$

(2) $(3x - y + 3)(x + 2y + 1)$