$y = |x^2 - 4|$ のグラフと $y = 2x + k$ のグラフが4個の共有点を持つような $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = |x^2 - 4|$ のグラフと $y = 2x + k$ のグラフが4個の共有点を持つような $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = |x^2 - 4|$ のグラフを描きます。$y = x^2 - 4$ のグラフは、下に凸な放物線で、x軸との交点は $x = \pm 2$、y軸との交点は $y = -4$ です。$|x^2 - 4|$ は、$x^2 - 4 < 0$ の部分、つまり $-2 < x < 2$ の部分をx軸に関して折り返したグラフになります。

次に、$y = 2x + k$ のグラフを描きます。これは傾き2の直線であり、$k$ はy切片を表します。

$y = |x^2 - 4|$ のグラフと $y = 2x + k$ のグラフが4個の共有点を持つためには、$k$ の値が適切である必要があります。グラフを描いて考えると、以下の条件を満たす必要があります。

1. $x^2 - 4 = 2x + k$ が、$-2 < x < 2$ の範囲に2つの解を持つ。

2. $x^2 - 4 = -2x - k$が、$x<-2$ または $x>2$ の範囲に２つの解を持つ

場合分けをします。

(1) $x^2 - 4 = 2x + k$ について、$x^2 - 2x - (4+k) = 0$ と変形できます。この判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-2)^2 - 4(1)(-(4+k)) = 4 + 16 + 4k = 20 + 4k$

$-2 < x < 2$ の範囲に2つの解を持つためには、$D_1 > 0$ であり、かつ、$f(x) = x^2 - 2x - (4+k)$ が $f(-2) > 0$ と $f(2) > 0$ を満たす必要があります。また、軸 $x = 1$ が $-2 < x < 2$ の範囲にあるので問題ありません。

$D_1 > 0$ より、$20 + 4k > 0$、$k > -5$

$f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - (4+k) = 4 + 4 - 4 - k = 4 - k > 0$、$k < 4$

$f(2) = (2)^2 - 2(2) - (4+k) = 4 - 4 - 4 - k = -4 - k > 0$、$k < -4$

したがって、$-5 < k < -4$

(2) $x^2 - 4 = -2x - k$ について、$x^2 + 2x - (4-k) = 0$ と変形できます。この判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (2)^2 - 4(1)(-(4-k)) = 4 + 16 - 4k = 20 - 4k$

$x<-2$ または $x>2$ の範囲に２つの解を持つためには、$D_2>0$ であり、$g(x) = x^2 + 2x - (4-k)=0$　の場合に $g(-2) < 0$かつ$g(2)<0$が必要です。

$D_2>0$より、$20-4k >0$、$k<5$

$g(-2) = (-2)^2 + 2(-2) - (4-k) = 4 - 4 - 4 + k = k - 4 < 0$、$k < 4$

$g(2) = (2)^2 + 2(2) - (4-k) = 4 + 4 - 4 + k = 4 + k > 0$、$k > -4$

したがって、$-4 < k < 4$

これら２つの条件から、$k$の範囲は $-4< k < 4$になります。

$-5<k<-4$　は、$x<-2$または$x>2$の範囲に解を持たないため不適切

3. 最終的な答え

$-4 < k < 4$