(1) ある等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$ のとき, $S_n$ を求めよ。また, $S_{30}$ を求めよ。 (2) 第5項が20, 初項から第5項までの和が50である等差数列について、初項と公差を求めよ。

1. 問題の内容

(1) ある等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$ のとき, $S_n$ を求めよ。また, $S_{30}$ を求めよ。

(2) 第5項が20, 初項から第5項までの和が50である等差数列について、初項と公差を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の初項を $a$, 公差を $d$ とする。

等差数列の和の公式は、

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

与えられた条件から、

$S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9d) = 5(2a+9d) = 100$

$S_{20} = \frac{20}{2} (2a + 19d) = 10(2a+19d) = 400$

これらの式を整理すると、

$2a + 9d = 20$ ...(1)

$2a + 19d = 40$ ...(2)

(2)-(1) より、

$10d = 20$

$d = 2$

これを(1)に代入して、

$2a + 9(2) = 20$

$2a + 18 = 20$

$2a = 2$

$a = 1$

したがって、

$S_n = \frac{n}{2} (2(1) + (n-1)(2)) = \frac{n}{2} (2 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n) = n^2$

よって、$S_n = n^2$

$S_{30} = 30^2 = 900$

(2)

等差数列の初項を $a$, 公差を $d$ とする。

第5項は $a + 4d$ であり、これが20に等しい。

$a + 4d = 20$ ...(3)

初項から第5項までの和は $\frac{5}{2} (2a + 4d)$ であり、これが50に等しい。

$\frac{5}{2} (2a + 4d) = 50$

$5(a+2d) = 50$

$a+2d = 10$ ...(4)

(3)-(4) より、

$2d = 10$

$d = 5$

これを(4)に代入して、

$a + 2(5) = 10$

$a + 10 = 10$

$a = 0$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = n^2$, $S_{30} = 900$

(2) 初項: 0, 公差: 5