3つの数式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 - 6y^2 - xy - 3x - 11y - 4$ (2) $(x-3)(x-5)(x-7)(x-9) - 9$ (3) $4x^4 + 7x^2 + 16$

1. 問題の内容

3つの数式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 - 6y^2 - xy - 3x - 11y - 4$

(2) $(x-3)(x-5)(x-7)(x-9) - 9$

(3) $4x^4 + 7x^2 + 16$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 6y^2 - xy - 3x - 11y - 4$ を因数分解します。

まず、この式を$x$の2次式と見て整理します。

$x^2 - (y+3)x - (6y^2 + 11y + 4)$

次に、定数項 $6y^2 + 11y + 4$ を因数分解します。

$6y^2 + 11y + 4 = (2y+1)(3y+4)$

したがって、$x^2 - (y+3)x - (2y+1)(3y+4)$ を因数分解することを考えます。

$(x + 2y + 1)(x - 3y - 4) = x^2 -3xy - 4x + 2xy - 6y^2 - 8y + x - 3y - 4 = x^2 -xy -3x - 6y^2 -11y - 4$

よって、$x^2 - 6y^2 - xy - 3x - 11y - 4 = (x + 2y + 1)(x - 3y - 4)$

(2) $(x-3)(x-5)(x-7)(x-9) - 9$ を因数分解します。

$(x-3)(x-9)(x-5)(x-7) - 9$

$(x^2 - 12x + 27)(x^2 - 12x + 35) - 9$

$A = x^2 - 12x$ とおくと、

$(A + 27)(A + 35) - 9 = A^2 + 62A + 27 \cdot 35 - 9 = A^2 + 62A + 945 - 9 = A^2 + 62A + 936$

$A^2 + 62A + 936 = (A+18)(A+52)$

元の変数に戻すと、

$(x^2 - 12x + 18)(x^2 - 12x + 52)$

(3) $4x^4 + 7x^2 + 16$ を因数分解します。

$4x^4 + 16x^2 + 16 - 9x^2 = (2x^2+4)^2 - (3x)^2 = (2x^2+4-3x)(2x^2+4+3x) = (2x^2 - 3x + 4)(2x^2 + 3x + 4)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 2y + 1)(x - 3y - 4)$

(2) $(x^2 - 12x + 18)(x^2 - 12x + 52)$

(3) $(2x^2 - 3x + 4)(2x^2 + 3x + 4)$