$a$を定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 4x - a$ の最小値が $-1$ のとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 4x - a$ の最小値が $-1$ のとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = 2x^2 - 4x - a$ を平方完成します。

\begin{align*}

y &= 2(x^2 - 2x) - a \\

&= 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - a \\

&= 2((x - 1)^2 - 1) - a \\

&= 2(x - 1)^2 - 2 - a

\end{align*}

したがって、与えられた2次関数の頂点は $(1, -2-a)$ です。

この2次関数の最小値は $-2-a$ となります。

最小値が $-1$ であることから、

$-2 - a = -1$

これを解くと、

$a = -1$

3. 最終的な答え

$a = -1$