次の行列式を因数分解してください。 $ \begin{vmatrix} x & a & b \\ x^2 & a^2 & b^2 \\ a+b & x+b & x+a \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

次の行列式を因数分解してください。

$\begin{vmatrix} x & a & b \\ x^2 & a^2 & b^2 \\ a+b & x+b & x+a \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算します。

$\begin{aligned} & \begin{vmatrix} x & a & b \\ x^2 & a^2 & b^2 \\ a+b & x+b & x+a \end{vmatrix} \\ &= x(a^2(x+a)-b^2(x+b)) - a(x^2(x+a)-b^2(a+b)) + b(x^2(x+b)-a^2(a+b)) \\ &= x(a^2x + a^3 - b^2x - b^3) - a(x^3 + ax^2 - a b^2 - b^3) + b(x^3 + bx^2 - a^3 - a^2b) \\ &= a^2x^2 + a^3x - b^2x^2 - b^3x - ax^3 - a^2x^2 + a^2b^2 + ab^3 + bx^3 + b^2x^2 - a^3b - a^2b^2 \\ &= -ax^3 + bx^3 + a^3x - b^3x + ab^3 - a^3b \\ &= (b-a)x^3 + (a^3-b^3)x + ab(b^2-a^2) \\ &= (b-a)x^3 - (b^3-a^3)x - ab(a^2-b^2) \\ &= (b-a)x^3 - (b-a)(a^2+ab+b^2)x + ab(b-a)(a+b) \\ &= (b-a)(x^3 - (a^2+ab+b^2)x + ab(a+b)) \\ &= (b-a)(x^3 - (a^2+ab+b^2)x + a^2b + ab^2) \end{aligned}$

ここで、因数定理を適用して、$x=a$の場合を試してみます。

$a^3 - (a^2+ab+b^2)a + a^2b + ab^2 = a^3 - a^3 - a^2b - ab^2 + a^2b + ab^2 = 0$

したがって、$x-a$は因数です。

$x=b$の場合を試してみます。

$b^3 - (a^2+ab+b^2)b + a^2b + ab^2 = b^3 - a^2b - ab^2 - b^3 + a^2b + ab^2 = 0$

したがって、$x-b$は因数です。

よって、因数は$(x-a)(x-b)$なので、もう一つの因子は$x+a+b$です。

$x^3 - (a^2+ab+b^2)x + a^2b + ab^2 = (x-a)(x-b)(x+a+b)$

したがって、

$(b-a)(x^3 - (a^2+ab+b^2)x + a^2b + ab^2) = (b-a)(x-a)(x-b)(x+a+b)$

$= (b-a)(x-a)(x-b)(x+a+b)$

$= -(a-b)(x-a)(x-b)(x+a+b)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(x-a)(x-b)(x+a+b)$