関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ （$0 \le x \le 5$）について、$a>0$であるとき、最大値が15、最小値が-3となるような定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ （$0 \le x \le 5$）について、$a>0$であるとき、最大値が15、最小値が-3となるような定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = a(x^2 - 4x) + b$

$y = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b$

$y = a(x - 2)^2 - 4a + b$

頂点の座標は $(2, -4a + b)$ となります。

$a>0$ より、この放物線は下に凸です。

定義域は $0 \le x \le 5$ です。

軸 $x=2$ はこの定義域に含まれます。

最小値は頂点でとるので、$x=2$ のとき最小値 $-3$ をとります。

$-4a + b = -3$ ...(1)

最大値は、$x=0$ または $x=5$ のいずれかでとります。

$x=0$ のとき $y = a(0)^2 - 4a(0) + b = b$

$x=5$ のとき $y = a(5)^2 - 4a(5) + b = 25a - 20a + b = 5a + b$

$x=0$と$x=5$が軸$x=2$から等距離ではないので、$x=5$ の方が軸から遠く、したがって、$x=5$で最大値をとるはずです。

したがって、$x=5$ のとき最大値 $15$ をとります。

$5a + b = 15$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(2) - (1) より

$(5a + b) - (-4a + b) = 15 - (-3)$

$9a = 18$

$a = 2$

$a=2$ を (2) に代入して

$5(2) + b = 15$

$10 + b = 15$

$b = 5$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 5$