行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$ を対角化し、さらに自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$ を対角化し、さらに自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。

固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ であり、

$\det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & -2-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - 4 = 0$

これを展開すると、

$\lambda^2 + \lambda - 6 = 0$

となり、

$(\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = -3$ と $\lambda_2 = 2$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = -3$ のとき、

$(A - (-3)I) \mathbf{v}_1 = 0$

$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$4x + 2y = 0$

$2x + y = 0$

$y = -2x$

固有ベクトル $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）

$\lambda_2 = 2$ のとき、

$(A - 2I) \mathbf{v}_2 = 0$

$\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-x + 2y = 0$

$x = 2y$

固有ベクトル $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）

固有ベクトルを列ベクトルとする行列 $P$ を作ります。

$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$

このとき、逆行列 $P^{-1}$ は

$P^{-1} = \frac{1}{(1)(1) - (2)(-2)} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

$A$ の対角化は $D = P^{-1}AP$ であり、

$D = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

$A^n = P D^n P^{-1}$ を計算します。

$D^n = \begin{bmatrix} (-3)^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix}$

$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-3)^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix} \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

$A^n = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} (-3)^n & 2^{n+1} \\ -2(-3)^n & 2^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

$A^n = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} (-3)^n + 2^{n+2} & -2(-3)^n + 2^{n+1} \\ -2(-3)^n + 2^{n+1} & 4(-3)^n + 2^n \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^n = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} (-3)^n + 4 \cdot 2^n & -2(-3)^n + 2 \cdot 2^n \\ -2(-3)^n + 2 \cdot 2^n & 4(-3)^n + 2^n \end{bmatrix}$

または

$A^n = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} (-3)^n + 2^{n+2} & -2(-3)^n + 2^{n+1} \\ -2(-3)^n + 2^{n+1} & 4(-3)^n + 2^n \end{bmatrix}$