2次関数 $y = -2x^2 + 4x + a$ の $-2 \leq x \leq 3$ における最大値が4となるとき、$a$ の値を求めよ。ただし、$y = -2x^2 + 4x + a = -2(x-1)^2 + a + 2$と変形できることを利用する。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 4x + a$ の $-2 \leq x \leq 3$ における最大値が4となるとき、$a$ の値を求めよ。ただし、$y = -2x^2 + 4x + a = -2(x-1)^2 + a + 2$と変形できることを利用する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成した形 $y = -2(x-1)^2 + a + 2$ から、グラフの頂点の座標が $(1, a+2)$ であり、上に凸な放物線であることがわかる。

次に、$x$ の定義域 $-2 \leq x \leq 3$ における最大値を考える。頂点の $x$ 座標が $x=1$ であり、これは定義域内にある。したがって、$x=1$ で最大値をとる。

最大値が4であることから、

$a + 2 = 4$

となる。

この式を解くと、

$a = 4 - 2 = 2$

となる。

3. 最終的な答え

$a = 2$