次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。 $\frac{1}{2 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 8}, \frac{1}{8 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 14}, \frac{1}{14 \cdot 17}, \dots$

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

$\frac{1}{2 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 8}, \frac{1}{8 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 14}, \frac{1}{14 \cdot 17}, \dots$

2. 解き方の手順

この数列の一般項は $\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ と表すことができます。

部分分数分解を利用して、この数列の和を求めます。

$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{A}{3n-1} + \frac{B}{3n+2}$ とおきます。

$1 = A(3n+2) + B(3n-1)$ となります。

$n = \frac{1}{3}$ を代入すると、$1 = A(1+2) + B(1-1)$ より $1 = 3A$ となり $A = \frac{1}{3}$ となります。

$n = -\frac{2}{3}$ を代入すると、$1 = A(-2+2) + B(-2-1)$ より $1 = -3B$ となり $B = -\frac{1}{3}$ となります。

よって、$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$ となります。

数列の第 $n$ 項までの和 $S_n$ は次のようになります。

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$

$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{11} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2 - 2}{2(3n+2)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{2(3n+2)} \right) = \frac{n}{2(3n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{6n+4}$