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次の計算問題を解きます。 $(2^{\frac{1}{3}} - 2^{- \frac{1}{3}}) (2^{\frac{2}{3}} + 1 + 2^{- \frac{2}{3}})$

代数学式の展開指数計算
2025/6/15

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。
(213−2−13)(223+1+2−23)(2^{\frac{1}{3}} - 2^{- \frac{1}{3}}) (2^{\frac{2}{3}} + 1 + 2^{- \frac{2}{3}})

2. 解き方の手順

この式を展開して計算します。a=213a = 2^{\frac{1}{3}} と置換すると、与えられた式は以下のように書き換えられます。
(a−1a)(a2+1+1a2)(a - \frac{1}{a})(a^2 + 1 + \frac{1}{a^2})
これを展開すると、
a(a2+1+1a2)−1a(a2+1+1a2)a(a^2 + 1 + \frac{1}{a^2}) - \frac{1}{a}(a^2 + 1 + \frac{1}{a^2})
=a3+a+1a−a−1a−1a3= a^3 + a + \frac{1}{a} - a - \frac{1}{a} - \frac{1}{a^3}
=a3−1a3= a^3 - \frac{1}{a^3}
元の変数に戻すと、a=213a = 2^{\frac{1}{3}} なので、
(213)3−1(213)3(2^{\frac{1}{3}})^3 - \frac{1}{(2^{\frac{1}{3}})^3}
=2−12= 2 - \frac{1}{2}
=42−12= \frac{4}{2} - \frac{1}{2}
=32= \frac{3}{2}

3. 最終的な答え

32\frac{3}{2}

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