2次関数 $y=x^2 + 2mx + 3m$ の最小値を $k$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $k$ を $m$ の式で表しなさい。 (2) $k$ が $-4$ であるとき、$m$ の値を求めなさい。 (3) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求めなさい。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2 + 2mx + 3m$ の最小値を $k$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $k$ を $m$ の式で表しなさい。

(2) $k$ が $-4$ であるとき、$m$ の値を求めなさい。

(3) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数の最小値を求めるために、平方完成を行います。

$y = x^2 + 2mx + 3m$

$y = (x^2 + 2mx + m^2) - m^2 + 3m$

$y = (x + m)^2 - m^2 + 3m$

したがって、最小値 $k$ は

$k = -m^2 + 3m$

(2) $k = -4$ のとき、$m$ の値を求めます。

$-4 = -m^2 + 3m$

$m^2 - 3m - 4 = 0$

$(m - 4)(m + 1) = 0$

よって、$m = 4$ または $m = -1$

(3) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求めます。$k = -m^2 + 3m$ を平方完成します。

$k = -(m^2 - 3m)$

$k = -(m^2 - 3m + (3/2)^2) + (3/2)^2$

$k = -(m - 3/2)^2 + 9/4$

したがって、$m = 3/2$ のとき、$k$ は最大値 $9/4$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $k = -m^2 + 3m$

(2) $m = 4, -1$

(3) $m = \frac{3}{2}$, $k = \frac{9}{4}$