$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、 $b = |2\sqrt{2}-3|$とするとき、以下の問題を解く。 (1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a+b$の値を求めよ。また、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$の値を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、 $b = |2\sqrt{2}-3|$とするとき、以下の問題を解く。

(1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a+b$の値を求めよ。また、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$の分母を有理化する。分母の$\sqrt{2}-1$の共役な式である$\sqrt{2}+1$を分子と分母にかける。

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2}$

(2) $b$の絶対値を計算する。

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$であり、$3 = \sqrt{9}$である。

したがって、$2\sqrt{2} < 3$なので、$2\sqrt{2}-3 < 0$である。

絶対値の定義より、$b = |2\sqrt{2}-3| = -(2\sqrt{2}-3) = 3-2\sqrt{2}$

次に、$a+b$を計算する。

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 3+3 = 6$

最後に、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$を計算する。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$

$a = 3+2\sqrt{2}$、 $b = 3-2\sqrt{2}$なので、

$ab = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 4\times2 = 9-8 = 1$

よって、$\sqrt{ab} = \sqrt{1} = 1$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab} = 6 + 2\times1 = 6+2 = 8$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a+b = 6$, $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = 8$