次の行列式を因数分解してください。 $\begin{vmatrix} x & a & b \\ x^2 & a^2 & b^2 \\ a+b & x+b & x+a \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

次の行列式を因数分解してください。

$\begin{vmatrix} x & a & b \\ x^2 & a^2 & b^2 \\ a+b & x+b & x+a \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式の性質を利用して計算を簡略化します。

ステップ1: 第2列から第1列を引く操作 $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ と、第3列から第1列を引く操作 $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ を行います。

$\begin{vmatrix} x & a-x & b-x \\ x^2 & a^2-x^2 & b^2-x^2 \\ a+b & x+b-(a+b) & x+a-(a+b) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & a-x & b-x \\ x^2 & (a-x)(a+x) & (b-x)(b+x) \\ a+b & x-a & x-b \end{vmatrix}$

ステップ2: 第2列から $(a-x)$を、第3列から$(b-x)$をそれぞれくくりだします。

$(a-x)(b-x) \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ x^2 & a+x & b+x \\ a+b & -1 & -1 \end{vmatrix}$

ステップ3: 第3行に第2行を足す操作 $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ を行います。

$(a-x)(b-x) \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ x^2 & a+x & b+x \\ a+b+x^2 & a+x-1 & b+x-1 \end{vmatrix}$

ステップ4: 第3列から第2列を引く操作 $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ を行います。

$(a-x)(b-x) \begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ x^2 & a+x & b-a \\ a+b & -1 & 0 \end{vmatrix}$

ステップ5: 第3列で余因子展開を行います。

$(a-x)(b-x)(b-a) \begin{vmatrix} x & 1 \\ a+b & -1 \end{vmatrix} = (a-x)(b-x)(b-a)(-x-(a+b)) = (a-x)(b-x)(b-a)(-x-a-b) = (x-a)(x-b)(a-b)(x+a+b)$

ステップ6: 因数分解の結果を整理します。

$(x-a)(x-b)(a-b)(x+a+b)$

3. 最終的な答え

$(x-a)(x-b)(a-b)(x+a+b)$