$a, b$ は実数とする。以下の命題の真偽を調べよ。 (1) $ab = 0$ ならば $a^2 + b^2 = 0$ である。 (2) $a^2 = 4$ ならば $|a+1| \ge 1$ である。 (3) $ab$ が有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。 (4) $a+b, ab$ がともに有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。以下の命題の真偽を調べよ。

(1) $ab = 0$ ならば $a^2 + b^2 = 0$ である。

(2) $a^2 = 4$ ならば $|a+1| \ge 1$ である。

(3) $ab$ が有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。

(4) $a+b, ab$ がともに有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。

2. 解き方の手順

(1) $ab = 0$ ならば $a = 0$ または $b = 0$ である。しかし、$a^2 + b^2 = 0$ となるためには、$a = 0$ かつ $b = 0$ でなければならない。

反例として、$a = 0, b = 1$ を考えると、$ab = 0$ だが、$a^2 + b^2 = 0^2 + 1^2 = 1 \neq 0$ となる。したがって、この命題は偽である。

(2) $a^2 = 4$ より、$a = 2$ または $a = -2$ である。

$a = 2$ のとき、$|a+1| = |2+1| = |3| = 3 \ge 1$ である。

$a = -2$ のとき、$|a+1| = |-2+1| = |-1| = 1 \ge 1$ である。

したがって、この命題は真である。

(3) $ab$ が有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。

反例として、$a = \sqrt{2}, b = \sqrt{2}$ を考えると、$ab = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ は有理数だが、$a = \sqrt{2}, b = \sqrt{2}$ はともに無理数である。したがって、この命題は偽である。

(4) $a+b, ab$ がともに有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。

$a, b$ は $x$ の二次方程式 $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ の解である。

解の公式より、$x = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2 - 4ab}}{2}$ である。

$a+b$ と $ab$ が有理数なので、$(a+b)^2 - 4ab$ が有理数である。

もし $\sqrt{(a+b)^2 - 4ab}$ が有理数ならば、$x$ は有理数となり、$a, b$ はともに有理数である。

もし $\sqrt{(a+b)^2 - 4ab}$ が無理数ならば、$a = \frac{(a+b) + \sqrt{(a+b)^2 - 4ab}}{2}$, $b = \frac{(a+b) - \sqrt{(a+b)^2 - 4ab}}{2}$ は無理数となる。

しかし、$a+b$ と $ab$ がともに有理数であるという条件より、$\sqrt{(a+b)^2 - 4ab}$ が無理数になる場合でも、$a, b$ は複素数ではなく実数である。

$(a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2 \ge 0$ なので、$\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$ は実数である。

$a, b$ は実数であり、$a+b, ab$ が有理数であるから、 $a, b$ はともに有理数である。したがって、この命題は真である。

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 真

(3) 偽

(4) 真