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数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられた漸化式によって定義されている。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3^n$ のとき、$a_2, a_3$ を求め、一般項 $a_n$ を求める。 (2) $b_1 = 2$, $b_{n+1} = 2b_n + 2 \cdot 6^n$ で定義される数列 $\{b_n\}$ について、$c_n = \frac{b_n}{2^n}$ とおくと、$c_{n+1} = c_n + (\text{空欄8})$ となる。(1)の結果を用いて、$b_n = 2^n c_n = (\text{空欄9}) \sum_{k=1}^{n-1} (\text{空欄10})^k + (\text{空欄11})$ を求める。

代数学数列漸化式等比数列一般項シグマ
2025/6/11

1. 問題の内容

数列 {an}\{a_n\} と {bn}\{b_n\} が与えられた漸化式によって定義されている。
(1) a1=1a_1 = 1, an+1=an+3na_{n+1} = a_n + 3^n のとき、a2,a3a_2, a_3 を求め、一般項 ana_n を求める。
(2) b1=2b_1 = 2, bn+1=2bn+2⋅6nb_{n+1} = 2b_n + 2 \cdot 6^n で定義される数列 {bn}\{b_n\} について、cn=bn2nc_n = \frac{b_n}{2^n} とおくと、cn+1=cn+(空欄8)c_{n+1} = c_n + (\text{空欄8}) となる。(1)の結果を用いて、bn=2ncn=(空欄9)∑k=1n−1(空欄10)k+(空欄11)b_n = 2^n c_n = (\text{空欄9}) \sum_{k=1}^{n-1} (\text{空欄10})^k + (\text{空欄11}) を求める。

2. 解き方の手順

(1)
a2=a1+31=1+3=4a_2 = a_1 + 3^1 = 1 + 3 = 4
a3=a2+32=4+9=13a_3 = a_2 + 3^2 = 4 + 9 = 13
an=a1+∑k=1n−13k=1+3(3n−1−1)3−1=1+3n−32=2+3n−32=3n−12a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k = 1 + \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = 1 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{2 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n - 1}{2}
(2)
cn=bn2nc_n = \frac{b_n}{2^n} とおくと、cn+1=bn+12n+1=2bn+2⋅6n2n+1=bn2n+2⋅6n2n+1=cn+6n2n=cn+3nc_{n+1} = \frac{b_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{2b_n + 2 \cdot 6^n}{2^{n+1}} = \frac{b_n}{2^n} + \frac{2 \cdot 6^n}{2^{n+1}} = c_n + \frac{6^n}{2^n} = c_n + 3^n
よって、空欄8は 3n3^n。
c1=b121=22=1c_1 = \frac{b_1}{2^1} = \frac{2}{2} = 1
cn=c1+∑k=1n−13k=1+3(3n−1−1)3−1=1+3n−32=3n−12c_n = c_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k = 1 + \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = 1 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{3^n - 1}{2}
bn=2ncn=2n⋅3n−12=2n−1(3n−1)=2n−13n−2n−1=3(32)n−12n−2n−1b_n = 2^n c_n = 2^n \cdot \frac{3^n - 1}{2} = 2^{n-1} (3^n - 1) = 2^{n-1} 3^n - 2^{n-1} = 3 (\frac{3}{2})^{n-1} 2^n - 2^{n-1}
bn=2ncn=2n(1+∑k=1n−13k)=2n(1+3(3n−1−1)2)=2n+2n⋅32(3n−1−1)b_n = 2^n c_n = 2^n \left( 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k \right) = 2^n \left( 1 + \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} \right) = 2^n + 2^n \cdot \frac{3}{2} (3^{n-1} - 1)
=2n+3∑k=1n−12n−k3k=2n−1(3n−1)=2n−13n−2n−1= 2^n + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 2^{n-k} 3^k = 2^{n-1} (3^n-1) = 2^{n-1} 3^n - 2^{n-1}
cn=3n−12=∑k=1n−13k+1c_n = \frac{3^n-1}{2} = \sum_{k=1}^{n-1} 3^k+1
$b_n = 2^n (\sum_{k=1}^{n-1} 3^k+1)= 2^n +2^n \sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \sum_{k=1}^{n-1} 2^n3^k + 2^n =3^{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} 2^{n-k-1}
bn=2n−1(3n−1)=2n−1(3∑k=0n−13k−1)=2∑k=0n3k−1b_n = 2^{n-1}(3^n-1) =2^{n-1} (3 \sum_{k=0}^{n-1} 3^{k} -1 ) = 2 \sum_{k=0}^{n} 3^{k}-1
bn=2n−1(3n−1)b_n = 2^{n-1}(3^n-1)
$b_n = 2^{n-1} (3^n-1) = \sum_{i=1}^{n-1} (3 \times 2)^{n-1}2 + 2 \implies \sum_{k=1}^{n-1} c d +2
空欄9: 2n−12^{n-1}, 空欄10: 3, 空欄11: −2n−1-2^{n-1}

3. 最終的な答え

1: 4
2: 13
3: 3
4: 3^n
5: -1
6: 2
7: 1
8: 3n3^n
9: 2n−12^{n-1}
10: 3
11: −2n−1-2^{n-1}
最終的な答えは、
a2=4a_2 = 4, a3=13a_3 = 13, an=3n−12a_n = \frac{3^n-1}{2}
cn+1=cn+3nc_{n+1} = c_n + 3^n, bn=2n−1∑k=1n−13⋅2k−2n−1b_n = 2^{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{k} - 2^{n-1}.
bn=2n−1(3n−1)=2n−1×3n−2n−1=2n∑n=1n−13k−2n.bnb_n= 2^{n-1}(3^n-1)= 2^{n-1} \times 3^n - 2^{n-1} = 2^{n} \sum_{n=1}^{n-1} 3^k - 2^n. b_n
bn=2n−13n−2n−1b_n = 2^{n-1}3^n -2^{n-1}
bn=2n−1∗(sum1n3(k−1)+2)−2(n−1)b_n = 2^{n-1}*(sum_1^n 3^(k-1) +2) -2^(n-1)
a2=4,a3=13,an=3n−12a_2 = 4, a_3 = 13, a_n = \frac{3^n-1}{2}
cn+1=cn+3nc_{n+1} = c_n + 3^n, bn=2n⋅3n−12b_n = 2^n \cdot \frac{3^n - 1}{2}
bn=2n−1(3n−1)b_n = 2^{n-1}(3^n - 1)
よって、
9: 2n−12^{n-1}
10: 33
11: −2n−1-2^{n-1}
```
a2 = 4
a3 = 13
an = (3^n - 1) / 2
c_{n+1} = c_n + 3^n
b_n = 2^(n-1) * 3^n - 2^(n-1)
```
答え：
1: 4
2: 13
3: 3
4: 3n3^n
5: -1
6: 2
7: 1
8: 3n3^n
9: 2n−12^{n-1}
10: 33
11: −2n−1-2^{n-1}

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