座標平面上に2つの放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ と $C_2: y = 2x^2 - 4x + 9$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線の方程式を2つ求める。 (2) (1)で求めた2つの直線と放物線$C_1$で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2つの放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ と $C_2: y = 2x^2 - 4x + 9$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線の方程式を2つ求める。

(2) (1)で求めた2つの直線と放物線$C_1$で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$C_1$に接する直線を $y = mx + n$ とおく。

$-x^2 + 2x = mx + n$

$x^2 + (m-2)x + n = 0$

判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (m-2)^2 - 4n = 0$

$m^2 - 4m + 4 - 4n = 0$

$4n = m^2 - 4m + 4$

$n = \frac{1}{4}m^2 - m + 1$

$C_2$に接する直線を $y = mx + n$ とおく。

$2x^2 - 4x + 9 = mx + n$

$2x^2 - (4+m)x + (9-n) = 0$

判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (4+m)^2 - 4(2)(9-n) = 0$

$16 + 8m + m^2 - 72 + 8n = 0$

$m^2 + 8m + 8n - 56 = 0$

$8n = -m^2 - 8m + 56$

$n = -\frac{1}{8}m^2 - m + 7$

$n = \frac{1}{4}m^2 - m + 1$ と $n = -\frac{1}{8}m^2 - m + 7$ より、

$\frac{1}{4}m^2 - m + 1 = -\frac{1}{8}m^2 - m + 7$

$\frac{3}{8}m^2 = 6$

$m^2 = 16$

$m = \pm 4$

$m=4$ のとき、$n = \frac{1}{4}(16) - 4 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$

$m=-4$ のとき、$n = \frac{1}{4}(16) - (-4) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9$

したがって、求める直線の方程式は $y = 4x + 1$ と $y = -4x + 9$

(2)

2つの直線の交点を求める。

$4x + 1 = -4x + 9$

$8x = 8$

$x = 1$

交点のy座標は $y = 4(1) + 1 = 5$

交点は$(1, 5)$

放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ と直線 $y = 4x + 1$ の交点を求める。

$-x^2 + 2x = 4x + 1$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

交点は$(-1, -3)$

放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ と直線 $y = -4x + 9$ の交点を求める。

$-x^2 + 2x = -4x + 9$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$

交点は$(3, -3)$

求める面積は

$S = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x - (4x+1)) dx + \int_{1}^{3} (-x^2 + 2x - (-4x+9)) dx$

$S = \int_{-1}^{1} (-x^2 - 2x - 1) dx + \int_{1}^{3} (-x^2 + 6x - 9) dx$

$S = \left[-\frac{1}{3}x^3 - x^2 - x\right]_{-1}^{1} + \left[-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x\right]_{1}^{3}$

$S = (-\frac{1}{3} - 1 - 1) - (\frac{1}{3} - 1 + 1) + (-9 + 27 - 27) - (-\frac{1}{3} + 3 - 9)$

$S = -\frac{7}{3} - \frac{1}{3} - 9 + \frac{1}{3} - 3 + 9$

$S = -\frac{7}{3} - \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3} - 3 = -\frac{17}{3}$

面積なので絶対値をとって $\frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x+1$, $y = -4x+9$

(2) $\frac{16}{3}$