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関数 $f(x) = x^6$ ($x \ge 0$) の逆関数が $f^{-1}(x) = \sqrt[6]{x}$ であることを用いて、関数 $y = \sqrt[6]{x}$ を微分せよ。

解析学微分逆関数冪関数合成関数
2025/6/11

1. 問題の内容

関数 f(x)=x6f(x) = x^6 (x≥0x \ge 0) の逆関数が f−1(x)=x6f^{-1}(x) = \sqrt[6]{x} であることを用いて、関数 y=x6y = \sqrt[6]{x} を微分せよ。

2. 解き方の手順

y=x6=x16y = \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}} である。
yy を xx で微分すると、
dydx=16x16−1=16x−56=16⋅1x56=16⋅1x56\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1} = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{x^5}}

3. 最終的な答え

dydx=16x56\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}

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