$x > 0$ , $y > 0$ のとき、不等式 $2\sqrt{x} + 3\sqrt{y} > \sqrt{4x + 9y}$ を証明します。

## 問題35(1)

1. 問題の内容

$x > 0$ , $y > 0$ のとき、不等式 $2\sqrt{x} + 3\sqrt{y} > \sqrt{4x + 9y}$ を証明します。

2. 解き方の手順

まず、両辺が正であることから、二乗して比較します。

左辺の二乗は、

$(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})^2 = 4x + 12\sqrt{xy} + 9y$

右辺の二乗は、

$(\sqrt{4x + 9y})^2 = 4x + 9y$

よって、示すべきことは

$4x + 12\sqrt{xy} + 9y > 4x + 9y$

これは、

$12\sqrt{xy} > 0$

と同値です。$x>0, y>0$ であることから、$\sqrt{xy} > 0$ が成り立ちます。

したがって、$12\sqrt{xy} > 0$ が成り立ちます。

二乗した結果の大小関係が示されたので、$2\sqrt{x} + 3\sqrt{y} > \sqrt{4x + 9y}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x > 0$ , $y > 0$ のとき、$2\sqrt{x} + 3\sqrt{y} > \sqrt{4x + 9y}$ は成り立つ。

## 問題35(2)

1. 問題の内容

$x > 2$ のとき、不等式 $3+x > \sqrt{13+6x}$ を証明します。

2. 解き方の手順

まず、両辺が正であることを確認します。$x>2$ より、$3+x>5>0$ であり、$13+6x > 13+6*2 = 25>0$ なので、$\sqrt{13+6x} > 0$です。

したがって両辺は正なので、二乗して比較します。

左辺の二乗は、

$(3+x)^2 = 9 + 6x + x^2$

右辺の二乗は、

$(\sqrt{13+6x})^2 = 13 + 6x$

よって、示すべきことは

$9 + 6x + x^2 > 13 + 6x$

これは、

$x^2 > 4$

と同値です。これは $x > 2$ , $x < -2$ を意味します。

$x > 2$ のとき $x > 2$ は明らかに成立します。$x<-2$は $x>2$に矛盾するため、考える必要はありません。

したがって、$9 + 6x + x^2 > 13 + 6x$ が成り立ちます。

二乗した結果の大小関係が示されたので、$3+x > \sqrt{13+6x}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x > 2$ のとき、$3+x > \sqrt{13+6x}$ は成り立つ。