与えられた式を簡略化する問題です。式は次のとおりです。 $$ \frac{1+3 \cdot \frac{x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^n}{1-x}}{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}} = \frac{1-x}{1-x} $$

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。式は次のとおりです。

$$\frac{1+3 \cdot \frac{x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^n}{1-x}}{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}} = \frac{1-x}{1-x}$$

2. 解き方の手順

まず、分子部分を簡略化します。

$$x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^n = x - x^n - (3n-2)x^n = x - (3n-1)x^n$$

分子全体は

$$1 + 3 \cdot \frac{x - (3n-1)x^n}{1-x} = \frac{1-x + 3x - 3(3n-1)x^n}{1-x} = \frac{1+2x-3(3n-1)x^n}{1-x} = \frac{1+2x-(9n-3)x^n}{1-x}$$

次に分母を確認します。

$$1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}$$

分子を少し変形します。

$$1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1} = 1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^n x = 1+2x - (3n+1 - (3n-2)x)x^n$$

式全体は

$$\frac{\frac{1+2x-(9n-3)x^n}{1-x}}{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}} = \frac{1-x}{1-x}$$

与えられた式から、結果が $\frac{1-x}{1-x}$ であることがわかっています。

したがって、

$$\frac{\frac{1+2x - (9n-3)x^n}{1-x}}{1+2x-(3n+1)x^n+(3n-2)x^{n+1}} = \frac{1-x}{1-x} = 1$$

$$\frac{1+2x-(9n-3)x^n}{1-x} = 1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}$$

$$1+2x-(9n-3)x^n = (1-x)(1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1})$$

$$1+2x-(9n-3)x^n = 1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1} - x - 2x^2 + (3n+1)x^{n+1} - (3n-2)x^{n+2}$$

$$1+2x-(9n-3)x^n = 1+x - 2x^2 - (3n+1)x^n + (6n-1)x^{n+1} - (3n-2)x^{n+2}$$

分子を修正します。

$$1+3 \cdot \frac{x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^n}{1-x} = 1 + 3 \cdot \frac{x - x^n - 3nx^n + 2x^n}{1-x} = 1 + 3 \cdot \frac{x - (3n-1)x^n}{1-x}$$

$$= \frac{1-x + 3x - 3(3n-1)x^n}{1-x} = \frac{1+2x - (9n-3)x^n}{1-x}$$

求める式は1であるため、

$$\frac{\frac{1+2x - (9n-3)x^n}{1-x}}{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}} = \frac{1-x}{1-x} = 1$$

$$\frac{1+2x - (9n-3)x^n}{1-x} = 1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}$$

$$\frac{1+2x - 3(3n-1)x^n}{1-x} = 1$$

$$1+2x - 3(3n-1)x^n = 1-x$$

しかし、これは不可能です。

3. 最終的な答え

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