問題は、数式 $S$ を求める問題です。$S$は以下の式で与えられます。 $S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$ これは、与えられた漸化式から導かれる和を求める問題の一部であると考えられます。

1. 問題の内容

問題は、数式 $S$ を求める問題です。$S$は以下の式で与えられます。

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

これは、与えられた漸化式から導かれる和を求める問題の一部であると考えられます。

2. 解き方の手順

写真に$S$を求めるまでの計算の過程が書かれています。

まず、与えられた式を整理します。

$1 + 3 \cdot \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} - \frac{(3n-2)x^n}{1-x} = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

この式の両辺に$\frac{1}{1-x}$を掛けると、

$\frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

が得られます。

したがって、$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$