2つの直線 $ax + 2y + 3a = 0$ と $(3-a)x + (a-1)y + 2 = 0$ が与えられています。ただし、$a \neq 1$ です。以下の2つの条件を満たす定数 $a$ の値を求めます。 (1) 2つの直線が平行 (2) 2つの直線が垂直

1. 問題の内容

2つの直線 $ax + 2y + 3a = 0$ と $(3-a)x + (a-1)y + 2 = 0$ が与えられています。ただし、$a \neq 1$ です。以下の2つの条件を満たす定数 $a$ の値を求めます。

(1) 2つの直線が平行

(2) 2つの直線が垂直

2. 解き方の手順

(1) 2つの直線が平行である条件

2つの直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が平行であるための条件は、$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$です。

この問題の場合、$a_1 = a$, $b_1 = 2$, $c_1 = 3a$, $a_2 = 3-a$, $b_2 = a-1$, $c_2 = 2$ です。

$\frac{a}{3-a} = \frac{2}{a-1}$ を解きます。

$a(a-1) = 2(3-a)$

$a^2 - a = 6 - 2a$

$a^2 + a - 6 = 0$

$(a+3)(a-2) = 0$

$a = -3, 2$

$a = -3$ のとき $\frac{a}{3-a} = \frac{-3}{3-(-3)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{3a}{2} = \frac{3(-3)}{2} = -\frac{9}{2}$

$\frac{a}{3-a} \neq \frac{c_1}{c_2}$が成り立つ。

$a = 2$ のとき $\frac{a}{3-a} = \frac{2}{3-2} = \frac{2}{1} = 2$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{3a}{2} = \frac{3(2)}{2} = 3$

$\frac{a}{3-a} \neq \frac{c_1}{c_2}$が成り立つ。

したがって、$a = -3, 2$ が条件を満たす。

(2) 2つの直線が垂直である条件

2つの直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が垂直であるための条件は、$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ です。

この問題の場合、$a_1 = a$, $b_1 = 2$, $a_2 = 3-a$, $b_2 = a-1$ です。

$a(3-a) + 2(a-1) = 0$

$3a - a^2 + 2a - 2 = 0$

$-a^2 + 5a - 2 = 0$

$a^2 - 5a + 2 = 0$

$a = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2つの直線が平行: $a = -3, 2$

(2) 2つの直線が垂直: $a = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$