関数 $y = (\frac{x}{x+1})^3$ の導関数 $y'$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (\frac{x}{x+1})^3$ の導関数 $y'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を用いる。

$y = u^3$ とおくと、$u = \frac{x}{x+1}$ となる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ である。

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3(\frac{x}{x+1})^2$

次に、$\frac{du}{dx}$ を求める。$u = \frac{x}{x+1}$ であるから、商の微分公式を用いる。

$\frac{du}{dx} = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3(\frac{x}{x+1})^2 \cdot \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{3x^2}{(x+1)^2} \cdot \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{3x^2}{(x+1)^4}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{3x^2}{(x+1)^4}$