複素数 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ の-5乗を計算する問題です。

1. 問題の内容

複素数 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ の-5乗を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、複素数を極形式で表します。

$z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ の絶対値 $r$ は、

$r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

偏角 $\theta$ は、

$\cos \theta = \frac{1}{2}, \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

よって、$z = 1(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$ となります。

次に、ド・モアブルの定理を用いて、zの-5乗を計算します。

$z^{-5} = (\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^{-5} = \cos(-\frac{5\pi}{3}) + i \sin(-\frac{5\pi}{3})$

$-\frac{5\pi}{3}$ は $\frac{\pi}{3}$ と同じ角度なので、

$\cos(-\frac{5\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(-\frac{5\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$z^{-5} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$