与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{x}{(1+x^3)^2}$ (2) $y = \frac{1}{x\sqrt[4]{x}}$ (3) $y = x\sqrt{x^2+2}$ (4) $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{x}{(1+x^3)^2}$

(2) $y = \frac{1}{x\sqrt[4]{x}}$

(3) $y = x\sqrt{x^2+2}$

(4) $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x}{(1+x^3)^2}$

商の微分公式: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

$u = x$, $v = (1+x^3)^2$ とすると、$u' = 1$, $v' = 2(1+x^3)(3x^2) = 6x^2(1+x^3)$

$y' = \frac{1 \cdot (1+x^3)^2 - x \cdot 6x^2(1+x^3)}{(1+x^3)^4} = \frac{(1+x^3)^2 - 6x^3(1+x^3)}{(1+x^3)^4} = \frac{(1+x^3) [(1+x^3) - 6x^3]}{(1+x^3)^4} = \frac{1 - 5x^3}{(1+x^3)^3}$

(2) $y = \frac{1}{x\sqrt[4]{x}} = \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{5}{4}}} = x^{-\frac{5}{4}}$

$y' = -\frac{5}{4}x^{-\frac{5}{4} - 1} = -\frac{5}{4}x^{-\frac{9}{4}} = -\frac{5}{4x^{\frac{9}{4}}} = -\frac{5}{4x^2\sqrt[4]{x}}$

(3) $y = x\sqrt{x^2+2}$

積の微分公式: $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = x$, $v = \sqrt{x^2+2} = (x^2+2)^{\frac{1}{2}}$ とすると、$u' = 1$, $v' = \frac{1}{2}(x^2+2)^{-\frac{1}{2}}(2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$

$y' = 1 \cdot \sqrt{x^2+2} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+2}} = \sqrt{x^2+2} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} = \frac{x^2+2+x^2}{\sqrt{x^2+2}} = \frac{2x^2+2}{\sqrt{x^2+2}} = \frac{2(x^2+1)}{\sqrt{x^2+2}}$

(4) $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

商の微分公式: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

$u = x$, $v = \sqrt{1-x^2} = (1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ とすると、$u' = 1$, $v' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{1-x^2} - x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{\frac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1-5x^3}{(1+x^3)^3}$

(2) $y' = -\frac{5}{4x^2\sqrt[4]{x}}$

(3) $y' = \frac{2(x^2+1)}{\sqrt{x^2+2}}$

(4) $y' = \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}$