$3-2x-x^2 = -(x^2 + 2x) + 3 = -(x^2 + 2x + 1) + 3 + 1 = 4 - (x+1)^2$

## 問題

与えられた5つの関数を積分する問題です。ここでは、(1) $\sqrt{3-2x-x^2}$ と (5) $x\sin^{-1}x$ の積分を解きます。

## (1) 解き方の手順

1. 平方完成を行います。

$3-2x-x^2 = -(x^2 + 2x) + 3 = -(x^2 + 2x + 1) + 3 + 1 = 4 - (x+1)^2$

2. 積分を書き換えます。

$\int \sqrt{3-2x-x^2} dx = \int \sqrt{4-(x+1)^2} dx$

3. 三角関数で置換積分を行います。

$x+1 = 2\sin\theta$ とおくと、$dx = 2\cos\theta d\theta$

$\sqrt{4-(x+1)^2} = \sqrt{4-4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$

4. 積分を計算します。

$\int \sqrt{4-(x+1)^2} dx = \int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta d\theta = 4\int \cos^2\theta d\theta$

5. $\cos^2\theta$ の積分を計算します。

$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$ なので、

$4\int \cos^2\theta d\theta = 4\int \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta = 2\int (1+\cos2\theta) d\theta = 2(\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta) + C$

6. $\theta$ と $\sin2\theta$ を $x$ に戻します。

$\theta = \arcsin(\frac{x+1}{2})$

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot\frac{x+1}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-(x+1)^2}}{2} = \frac{(x+1)\sqrt{3-2x-x^2}}{2}$

7. 最終的な答えをまとめます。

$2(\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta) + C = 2\arcsin(\frac{x+1}{2}) + \frac{(x+1)\sqrt{3-2x-x^2}}{2} + C$

## (1) 最終的な答え

$2\arcsin(\frac{x+1}{2}) + \frac{(x+1)\sqrt{3-2x-x^2}}{2} + C$

## (5) 解き方の手順

1. 部分積分を行います。

$u = \sin^{-1}x, dv = xdx$ とおくと、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx, v = \frac{x^2}{2}$

2. 部分積分の公式 $\int udv = uv - \int vdu$ を適用します。

$\int x\sin^{-1}x dx = \frac{x^2}{2}\sin^{-1}x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \frac{x^2}{2}\sin^{-1}x - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$

3. $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$ を計算します。

$x = \sin\theta$ とおくと、$dx = \cos\theta d\theta$

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\cos\theta d\theta = \int \sin^2\theta d\theta = \int \frac{1-\cos2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2}(\theta - \frac{1}{2}\sin2\theta) + C_1$

4. $\theta$ と $\sin2\theta$ を $x$ に戻します。

$\theta = \arcsin x$

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2x\sqrt{1-x^2}$

5. $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx = \frac{1}{2}(\arcsin x - x\sqrt{1-x^2}) + C_1$

6. 最終的な答えをまとめます。

$\int x\sin^{-1}x dx = \frac{x^2}{2}\sin^{-1}x - \frac{1}{2}[\frac{1}{2}(\arcsin x - x\sqrt{1-x^2})] + C = \frac{x^2}{2}\sin^{-1}x - \frac{1}{4}\arcsin x + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + C = (\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4})\arcsin x + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + C$

## (5) 最終的な答え

$(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4})\arcsin x + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + C$