与えられた4つの命題について、対偶を考え、その対偶を証明することで元の命題が真であることを示す問題です。 (1) $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$ (2) $x+y > 3 \implies (x > 2 \text{ または } y > 1)$ (3) $n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない。 (4) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。

1. 問題の内容

与えられた4つの命題について、対偶を考え、その対偶を証明することで元の命題が真であることを示す問題です。

(1) $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$

(2) $x+y > 3 \implies (x > 2 \text{ または } y > 1)$

(3) $n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない。

(4) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。

2. 解き方の手順

各命題について、対偶を作り、その対偶を証明します。

(1) 元の命題：$x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$

対偶：$x = 1 \implies x^3 = 1$

対偶の証明：$x = 1$ のとき、$x^3 = 1^3 = 1$ である。よって対偶は真である。

したがって、元の命題も真である。

(2) 元の命題：$x+y > 3 \implies (x > 2 \text{ または } y > 1)$

対偶：$\neg (x > 2 \text{ または } y > 1) \implies x+y \leq 3$

これは $\neg(x > 2) \text{ かつ } \neg(y > 1) \implies x+y \leq 3$ と同値である。

つまり、$x \leq 2 \text{ かつ } y \leq 1 \implies x+y \leq 3$

対偶の証明：$x \leq 2$ かつ $y \leq 1$ のとき、$x+y \leq 2+1 = 3$ である。よって対偶は真である。

したがって、元の命題も真である。

(3) 元の命題：$n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない。

対偶：$n$ が3の倍数ならば、$n^2$ は3の倍数である。

対偶の証明：$n$ が3の倍数であるとき、$n = 3k$ （$k$ は整数）と表せる。

このとき、$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ となり、$n^2$ は3の倍数である。よって対偶は真である。

したがって、元の命題も真である。

(4) 元の命題：$n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。

対偶：$n$ が奇数ならば、$n^3 + 1$ は偶数である。

対偶の証明：$n$ が奇数であるとき、$n = 2k + 1$ （$k$ は整数）と表せる。

このとき、$n^3 + 1 = (2k + 1)^3 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 2 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 1)$ となり、$n^3 + 1$ は偶数である。よって対偶は真である。

したがって、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(1) 対偶：$x = 1 \implies x^3 = 1$ は真

(2) 対偶：$x \leq 2 \text{ かつ } y \leq 1 \implies x+y \leq 3$ は真

(3) 対偶：$n$ が3の倍数ならば、$n^2$ は3の倍数である。は真

(4) 対偶：$n$ が奇数ならば、$n^3 + 1$ は偶数である。は真