## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。12個の関数について、それぞれ $x$ に関する導関数を求めます。

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2. 解き方の手順

以下に、いくつかの問題について導関数の求め方を説明します。

**(1) $y = \sqrt{x^2 - 1}$**

1. 合成関数の微分法を用います。$u = x^2 - 1$ とおくと、$y = \sqrt{u} = u^{1/2}$ です。

2. $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

3. $\frac{du}{dx} = 2x$

4. $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

**(2) $y = \sin^{-1}\sqrt{1 - x^2}$**

1. 合成関数の微分法を用います。$u = \sqrt{1 - x^2}$ とおくと、$y = \sin^{-1}u$ です。

2. $\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

3. $u = (1 - x^2)^{1/2}$ より、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$

4. $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^2)}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-x}{|x|\sqrt{1 - x^2}}$

$x>0$ のとき,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$x<0$ のとき,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

**(5) $y = e^{e^x}$**

1. 合成関数の微分法を用います。$u = e^x$ とおくと、$y = e^u$ です。

2. $\frac{dy}{du} = e^u$

3. $\frac{du}{dx} = e^x$

4. $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot e^x = e^{e^x} \cdot e^x$

**(9) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$**

1. 商の微分法を用います。$u = x$, $v = \sqrt{x^2 + 1}$ とおくと、$y = \frac{u}{v}$ です。

2. $\frac{du}{dx} = 1$

3. $v = (x^2 + 1)^{1/2}$ より、$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

4. $\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} \cdot 1 - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} = \frac{\frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

**(11) $y = \sin^3(x^2)$**

1. 合成関数の微分法を用います。$u = x^2$ とおくと、$y = \sin^3(u)$ です。

2. $\frac{dy}{du} = 3\sin^2(u) \cdot \cos(u)$

3. $\frac{du}{dx} = 2x$

4. $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3\sin^2(u) \cdot \cos(u) \cdot 2x = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)$

**(2)の媒介変数表示された関数 $(x = \frac{1}{\cos t}, y = \tan t)$**

1. $\frac{dx}{dt} = \frac{\sin t}{\cos^2 t}$

2. $\frac{dy}{dt} = \frac{1}{\cos^2 t}$

3. $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1/\cos^2 t}{\sin t/\cos^2 t} = \frac{1}{\sin t}$

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3. 最終的な答え

以下に、求めた導関数をまとめます。

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{|x|\sqrt{1 - x^2}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = e^{e^x} \cdot e^x$

(9) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

(11) $\frac{dy}{dx} = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)$

(2-2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin t}$