与えられた関数の導関数を求めます。

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解いていきます。ここでは、問題(1)から(12)のうち、いくつか例として解いてみます。

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x^2-1}$ の場合

$y = (x^2-1)^{1/2}$と書き換えられます。合成関数の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x^2-1)^{-1/2} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

(2) $y = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$ の場合

合成関数の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2})^2}} \cdot \frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2} \cdot (-2x)$

$= \frac{1}{\sqrt{x^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x}{|x|\sqrt{1-x^2}}$

$x > 0$ のとき $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $x < 0$ のとき $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(5) $y = e^{e^x}$ の場合

合成関数の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = e^{e^x} \cdot e^x = e^{e^x+x}$

(6) $y = \log \sqrt{x^2+1}$ の場合

$y = \log(x^2+1)^{1/2} = \frac{1}{2}\log(x^2+1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot (2x) = \frac{x}{x^2+1}$

(9) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ の場合

商の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x^2+1} \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x}{(\sqrt{x^2+1})^2}$

$= \frac{\sqrt{x^2+1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{x^2+1 - x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{|x|\sqrt{1-x^2}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = e^{e^x+x}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^2+1}$

(9) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$