与えられた6つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $y = \sqrt{x^2 - 1}$ (2) $y = \sin^{-1} \sqrt{1 - x^2}$ (3) $y = x\sqrt{1 - x^2} + \sin^{-1} x$ (4) $y = \sqrt{x + 2\sqrt{x}}$ (5) $y = e^{e^x}$ (6) $y = \log \sqrt{x^2 + 1}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $y = \sqrt{x^2 - 1}$

(2) $y = \sin^{-1} \sqrt{1 - x^2}$

(3) $y = x\sqrt{1 - x^2} + \sin^{-1} x$

(4) $y = \sqrt{x + 2\sqrt{x}}$

(5) $y = e^{e^x}$

(6) $y = \log \sqrt{x^2 + 1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x^2 - 1}$

$y = (x^2 - 1)^{1/2}$ と書き換えます。

連鎖律を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x^2 - 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

(2) $y = \sin^{-1} \sqrt{1 - x^2}$

$\sin^{-1}$ の微分公式と連鎖律を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^2)}} \cdot \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = \frac{1}{\sqrt{x^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-x}{|x|\sqrt{1 - x^2}}$

ここで、$x > 0$ なら $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$、$x < 0$ なら $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$。

関数は $y = \sin^{-1}(\sqrt{1-x^2})$で定義域は$-1 \le x \le 1$なので、$0 \le \sqrt{1-x^2} \le 1$となり、$\sin^{-1}$の中身は常に正の値を取ります。

従って、$x>0$の範囲では$y = \sin^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \cos^{-1}(x)$なので、$y' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$x<0$の範囲では$y = \sin^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \pi - \cos^{-1}(x)$なので、$y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) $y = x\sqrt{1 - x^2} + \sin^{-1} x$

積の微分法と $\sin^{-1} x$ の微分公式を用います。

$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - x^2 - x^2 + 1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2(1 - x^2)}{\sqrt{1 - x^2}} = 2\sqrt{1 - x^2}$

(4) $y = \sqrt{x + 2\sqrt{x}}$

$y = (x + 2x^{1/2})^{1/2}$ と書き換えます。

連鎖律を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x + 2x^{1/2})^{-1/2} \cdot (1 + x^{-1/2}) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x + 2\sqrt{x}}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}\sqrt{x + 2\sqrt{x}}}$

(5) $y = e^{e^x}$

連鎖律を用います。

$\frac{dy}{dx} = e^{e^x} \cdot e^x = e^{e^x + x}$

(6) $y = \log \sqrt{x^2 + 1}$

$y = \log (x^2 + 1)^{1/2} = \frac{1}{2}\log (x^2 + 1)$と書き換えます。

連鎖律を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{x}{x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \begin{cases} -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} & (x > 0) \\ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} & (x < 0) \end{cases}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{1 - x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}\sqrt{x + 2\sqrt{x}}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = e^{e^x + x}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^2 + 1}$