実数 $x$, $a$, $b$ について、以下の3つの命題における条件の必要性・十分性を判定し、ア～エのいずれかの記号で答えよ。 (1) $ab > 0$ は $a > 0$ かつ $b > 0$ であるための条件 (2) $x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための条件 (3) $a > b$ は $a^2 > b^2$ であるための条件 ここで、ア：必要条件であるが十分条件ではない、イ：十分条件であるが必要条件ではない、ウ：必要十分条件である、エ：必要条件でも十分条件でもない、である。

1. 問題の内容

実数 $x$, $a$, $b$ について、以下の3つの命題における条件の必要性・十分性を判定し、ア～エのいずれかの記号で答えよ。

(1) $ab > 0$ は $a > 0$ かつ $b > 0$ であるための条件

(2) $x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための条件

(3) $a > b$ は $a^2 > b^2$ であるための条件

ここで、ア：必要条件であるが十分条件ではない、イ：十分条件であるが必要条件ではない、ウ：必要十分条件である、エ：必要条件でも十分条件でもない、である。

2. 解き方の手順

(1)

* $ab>0$ ならば、$a>0$ かつ $b>0$、または、$a<0$ かつ $b<0$ である。

* よって、$ab>0$ は $a>0$ かつ $b>0$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

* したがって、答えはアである。

(2)

* $x=-2$ ならば、$x^2=(-2)^2=4$ である。

* $x^2=4$ ならば、$x=2$ または $x=-2$ である。

* よって、$x=-2$ は $x^2=4$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

* したがって、答えはイである。

(3)

* $a > b$ ならば、$a^2 > b^2$ とは限らない。例えば、$a=1$, $b=-2$ のとき、$a>b$ だが、$a^2=1$, $b^2=4$ であり、$a^2 < b^2$ である。

* $a^2 > b^2$ ならば、$a > b$ とも限らない。例えば、$a=-1$, $b=-2$ のとき、$a^2=1$, $b^2=4$で、$a^2 < b^2$ であり、$a > b$ であることはない。

* $a > b$ かつ $a+b>0$ ならば、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) > 0$ なので $a^2 > b^2$ が成り立つ。

* $a^2 > b^2$ で $a+b>0$ ならば、$a > b$ である。

* 一般的には、$a>b$ は $a^2>b^2$ の必要条件でも十分条件でもない。

* したがって、答えはエである。

3. 最終的な答え

(1) ア

(2) イ

(3) エ