問題は以下の3つの部分から構成されています。 (i) 2点A(4,3), B(4,-4), 原点O(0,0)からなる三角形OABの面積を求めます。 (ii) 点A(4,3)を通り、直線 $l: y = 3x$ に平行な直線mの式を求めます。 (iii) 直線m上にy座標が負である点Cを取り、三角形OABと三角形OACの面積が等しくなるようにします。点Cの座標を求めます。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの部分から構成されています。

(i) 2点A(4,3), B(4,-4), 原点O(0,0)からなる三角形OABの面積を求めます。

(ii) 点A(4,3)を通り、直線 $l: y = 3x$ に平行な直線mの式を求めます。

(iii) 直線m上にy座標が負である点Cを取り、三角形OABと三角形OACの面積が等しくなるようにします。点Cの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(i) 三角形OABの面積を求める。

点A,Bのx座標が同じなので、線分ABはy軸に平行な直線です。

ABを底辺とすると、底辺の長さは $3 - (-4) = 7$ です。

三角形OABの高さは、原点Oから線分ABまでの距離なので、これは点A,Bのx座標である4に等しくなります。

したがって、三角形OABの面積は、

$S = \frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$

(ii) 直線mの式を求める。

直線mは直線 $l: y = 3x$ に平行なので、傾きは3です。

したがって、直線mの式は $y = 3x + b$ と表せます。

直線mは点A(4,3)を通るので、$3 = 3 \times 4 + b$ が成り立ちます。

$3 = 12 + b$ より、$b = -9$

したがって、直線mの式は $y = 3x - 9$ です。

(iii) 点Cの座標を求める。

点Cは直線m上にあるので、点Cの座標を $(x, 3x - 9)$ と表せます。

三角形OABと三角形OACの面積が等しいので、点Bと点Cのy座標の絶対値が等しくなります。

三角形OABの面積は14なので、三角形OACの面積も14です。

三角形OACの底辺をOCとしたとき、高さは点Aのx座標である4となります。

点Cの座標を $(x,y)$ とすると、OCを底辺とした時の三角形OACの面積は、点Cのy座標の絶対値 $|y|$ を用いて $\frac{1}{2} \times 4 \times |y| = 14$ と表せます。

これを解くと、$|y| = 7$。点Cのy座標は負なので、$y = -7$。

点Cは直線m上にあるので、$y = 3x - 9$。

$-7 = 3x - 9$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

したがって、点Cの座標は $(\frac{2}{3}, -7)$ です。

3. 最終的な答え

(i) 14

(ii) $y = 3x - 9$

(iii) $(\frac{2}{3}, -7)$